home *** CD-ROM | disk | FTP | other *** search
/ NetNews Usenet Archive 1992 #26 / NN_1992_26.iso / spool / sci / physics / 18603 < prev    next >
Encoding:
Text File  |  1992-11-10  |  4.6 KB  |  89 lines
  1. Newsgroups: sci.physics
  2. Path: sparky!uunet!ornl!utkcs2!darwin.sura.net!sgiblab!nec-gw!netkeeper!vivaldi!aslws01!aslws01!terry
  3. From: terry@asl.dl.nec.com
  4. Subject: A Phase Space "Slide Rule"
  5. Message-ID: <1992Nov10.160510.2365@asl.dl.nec.com>
  6. Originator: terry@aslws01
  7. Sender: news@asl.dl.nec.com
  8. Nntp-Posting-Host: aslws01
  9. Organization: NEC America, Inc Irving TX
  10. Date: Tue, 10 Nov 1992 16:05:10 GMT
  11. Lines: 76
  12.  
  13. Hi ya'll,
  14.                               | p                                | p
  15. 1) Let x be a dimension       |        2) "Attach" the           *  
  16. of space, and let the         |    x   ends of a fixed-          |\   x
  17. vertical axis be its      ----+----    length line to the    ----+-*--
  18. conjugate dimension p:        |        p and x coordinates:      |
  19.                               |                                  |
  20.                               |                                  |
  21.  
  22. 3) Next, rotate the line (say countercloclwise) at about its center, letting
  23. the ends to slide back and forth along the x and p axes:
  24.  
  25.       | p        | p        | p        | p        | p        | p        | p  
  26.       *          |          |          |          |          |          *    
  27.       |\  x      |   x      |   x      |   x      |   x      |   x     /|   x
  28.   ----+-*--  ----*==*-  ----+-*--  ----*----  --*-+----  -*==*----  --*-+----
  29.       |          |          |/        ||         \|          |          |    
  30.       |          |          *         ||          *          |          |    
  31.       |          |          |          *          |          |          |    
  32.  
  33. The motion along the x axis nicely summarizes the phase space relationships
  34. of momentum and position for a particle bound in one dimension [1].  E.g.,
  35. when x is 0, p will be at a minimum or a maximum (and vice-versa).  If you
  36. select an x (or p), the construct immediately provides the valid conjugate
  37. p (or x) value(s) in slide-rule fashion.
  38.  
  39. Can more complex phase space models be done in this way?  Well, at least for
  40. 1D you can raise the p "track" in the z dimension to represent potentials.
  41.  
  42. How about Hilbert spaces -- can the model be extended to an infinite number
  43. of dimensions?  Since the conjugate coorinate pairs (xi,pi) are independent
  44. of each other, the simplest extension to Hilbert spaces is simply to have
  45. an infinite number of *separate* sets of fixed lines and (xi,pi) axes pairs.
  46. Accurate, but not terribly interesting.
  47.  
  48. A less obvious question is whether an object N-1 dimensionality can in
  49. general be made to "float" when fixed by similar rules into a N dimensional
  50. space.  For the most obvious extension approach of, say, attaching the
  51. vertices of a triangle to (x,y,z) axis, this does *not* work -- the triangle
  52. will be immobile.  (One may plausibly presume this to be true for N>3, too.)
  53.  
  54. However, you can make the extension if you allow the "tracks" to be of the
  55. same N-1 dimensionality as the objects.  E.g., a triangle in 3D space can
  56. be made to "float" if its vertices are attached not to the (x,y,z) axis,
  57. but to the (xy,xz,yz) planes.  An extension of the single-rigid-object model
  58. into Hilbert space thus appears plausible.
  59.  
  60.                 Cheers,
  61.                 Terry
  62.  
  63. [1] Powel & Crasemann, _Quantum Mechanics_, Addison-Weseley 1961, pp. 21-32.
  64.  
  65. P.S. -- Well, I DID want my latest generalization problem to be harder than
  66.     the last one.  Ozark Do-Nothings (their other name, depends where you
  67.     buy them) are the simplest members of an infinitely large class of
  68.     similar (2D) devices.  The other devices are not very intuitive, and
  69.     have nothing in particular to do with any of the above discussion,
  70.     but they work quite nicely and are a bit bizarre to watch in action.
  71.  
  72.     The usual reaction when I show folks a diagram of such a device is
  73.     is "That CAN'T work!"  Wasn't able to convince the head of the NSF
  74.     computer science division until a friend programmed a simulation to
  75.     animate the motion of such devices.  Seeing *is* believing...
  76.  
  77.         I am not aware of any mathematical formalisms that would be of much
  78.         help on figuring out the general class of devices, although a knack
  79.         for topological manipulations would probably help.  I'll give it two
  80.         or three more days, but I'm now doubtful.  Any good topologists out
  81.         there on this particular group?
  82.  
  83. +--------------------------------------------+-------------------------------+
  84. | Terry Bollinger                            | Phone: 214-518-3538           |
  85. | Advanced Switching Laboratory, NEC America |   Fax: 214-518-3499           |
  86. | 1525 Walnut Hill Lane, Irving, Texas 75038 | Email: terry@asl.dl.nec.com   |
  87. +--------------------------------------------+-------------------------------+
  88.  
  89.