home *** CD-ROM | disk | FTP | other *** search
/ NetNews Usenet Archive 1992 #26 / NN_1992_26.iso / spool / sci / physics / 18565 < prev    next >
Encoding:
Internet Message Format  |  1992-11-09  |  2.2 KB

  1. Xref: sparky sci.physics:18565 sci.math:14689
  2. Newsgroups: sci.physics,sci.math
  3. Path: sparky!uunet!sun-barr!cs.utexas.edu!swrinde!sdd.hp.com!spool.mu.edu!agate!doc.ic.ac.uk!mrccrc!warwick!pavo.csi.cam.ac.uk!camcus!gjm11
  4. From: gjm11@cus.cam.ac.uk (G.J. McCaughan)
  5. Subject: Re: What's a manifold?
  6. Message-ID: <1992Nov10.013653.9305@infodev.cam.ac.uk>
  7. Sender: news@infodev.cam.ac.uk (USENET news)
  8. Nntp-Posting-Host: apus.cus.cam.ac.uk
  9. Organization: U of Cambridge, England
  10. References: <SMITH.92Nov5132141@gramian.harvard.edu> <1992Nov6.024142.6758@galois.mit.edu> <1992Nov6.190913.18507@nas.nasa.gov> <1992Nov10.000228.14551@samba.oit.unc.edu>
  11. Date: Tue, 10 Nov 1992 01:36:53 GMT
  12. Lines: 32
  13.  
  14. In article <1992Nov10.000228.14551@samba.oit.unc.edu>, Bruce.Scott@launchpad.unc.edu (Bruce Scott) writes:
  15. > asimov@wk223.nas.nasa.gov (Daniel A. Asimov) writes:
  16. > >As has been mentioned, it *is* a theorem that all manifolds do occur
  17. > >as subspaces of some Euclidean space: in fact, any n-manifold embeds in R^(2n).
  18. > >
  19. > >This is a pleasant theorem, but it would be inappropriate to take this as a 
  20. > >definition.
  21. > What about the one-dimensional helix embedded in R^3. Is the helix not a
  22. > 1-manifold? Note that if you compact it along its axis you get a circle
  23. > (also a 1-manifold--is this S^1?) embedded in R^2. But a circle is a
  24. > degenerate case of a helix ("stretching" along the axis having vanished)
  25. > and is not in general a helix.
  26. > Someone educate me on this.
  27.  
  28. The helix, as a manifold, is just the same as, say, an infinite straight
  29. line; and as such it does embed in R^2; indeed, in R [:-)].
  30.  
  31. The thing is that manifolds are only defined up to an appropriate kind of
  32. equivalence; namely diffeomorphism; we say that A and B are diffeomorphic
  33. if there is a map from A to B which is smooth and which has a smooth
  34. inverse (exactly what "smooth" means depends on exactly what kind of manifold
  35. you're dealing with; say, infinitely differentiable.)
  36.  
  37. A diffeomorphism between the helix parametrised as (cos t, sin t, t) and the
  38. real line is given by (cos t, sin t, t) -> t.
  39.  
  40. -- 
  41. Gareth McCaughan     Dept. of Pure Mathematics & Mathematical Statistics,
  42. gjm11@cus.cam.ac.uk  Cambridge University, England.    [Research student]
  43.