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/ NetNews Usenet Archive 1992 #26 / NN_1992_26.iso / spool / sci / physics / 18219 < prev    next >
Encoding:
Internet Message Format  |  1992-11-06  |  1.7 KB
  1. Xref: sparky sci.physics:18219 sci.math:14462
  2. Path: sparky!uunet!think.com!news!columbus
  3. From: columbus@strident.think.com (Michael Weiss)
  4. Newsgroups: sci.physics,sci.math
  5. Subject: Re: What's a manifold?
  6. Date: 5 Nov 92 17:35:55
  7. Organization: Thinking Machines Corporation, Cambridge MA, USA
  8. Lines: 22
  9. Message-ID: <COLUMBUS.92Nov5173555@strident.think.com>
  10. References: <1992Nov5.035214.25991@galois.mit.edu>
  11.     <1992Nov5.060400.14203@CSD-NewsHost.Stanford.EDU>
  12.     <SMITH.92Nov5101553@gramian.harvard.edu>
  13.     <1992Nov5.161930.21320@CSD-NewsHost.Stanford.EDU>
  14. NNTP-Posting-Host: strident.think.com
  15. In-reply-to: pratt@Sunburn.Stanford.EDU's message of Thu, 5 Nov 1992 16:19:30 GMT
  16.  
  17.  
  18. Vaughn Pratt asks why the modern abstract definition of a manifold is
  19. "better" than an "imbedded" definition.
  20.  
  21. The theory of Riemann surfaces surely provided important motivation,
  22. historically, for the modern approach.  For example, consider the classic
  23. situation for elliptic functions: you can start by constructing the branched
  24. two-cover of the Riemann sphere associated with the equation 
  25. w^2 = (z^2-1)(k^2 z^2 -1), and take integrals on that, but you only really
  26. see what's going on when you recognize that this surface is conformally
  27. equivalent to a torus.
  28.  
  29. Now of course you could pick a particular imbedding of the torus in 3
  30. space, and a particular immersion of the branched surface in 3 space, but
  31. this emphasizes the incidental and obscures the essential.
  32.  
  33. If you'll buy this argument for conformal atlases, why not for smooth ones?
  34. (It would be interesting to know which came first.)
  35.  
  36. I believe there is a historical connection between this line of thought and
  37. the origin of the modern definition of a topological space, but I better
  38. not say any more without checking.
  39.