home *** CD-ROM | disk | FTP | other *** search
/ NetNews Usenet Archive 1992 #26 / NN_1992_26.iso / spool / sci / math / 14810 < prev    next >
Encoding:
Internet Message Format  |  1992-11-11  |  1.6 KB
  1. Path: sparky!uunet!charon.amdahl.com!pacbell.com!ames!agate!doc.ic.ac.uk!uknet!nplpsg!rmb
  2. From: rmb@psg.npl.co.uk (Robin Barker)
  3. Newsgroups: sci.math
  4. Subject: Re: Univariate polynomial equations and the FAQ
  5. Summary: Restatement of problem?
  6. Keywords: polynomials, radicals
  7. Message-ID: <1992Nov11.104023.592@psg.npl.co.uk>
  8. Date: 11 Nov 92 10:40:23 GMT
  9. References: <1992Nov6.184527.20793@sun0.urz.uni-heidelberg.de> <BxBD94.Irp@unix.amherst.edu>
  10. Sender: Robin Barker
  11. Organization: National Physical Laboratory, UK
  12. Lines: 32
  13.  
  14.  
  15. Let's have another go at stating the problem.
  16.  
  17. It is known that polynomials of degree <= 4 can be solved by
  18. REPEATEDLY taking roots of polynomials of the form x^n + a.
  19. i.e. x^n + polynomial of degree 0.
  20.  
  21. It is also true (?) that polynomials of degree 5 can be solved
  22. by repeatedly taking roots of polynomials of the form x^n + a 
  23. and x^5 + x + a, which are  x^n + polynomials of degree <= 1.
  24.  
  25. So consider a (fixed) natural number m.
  26.  
  27. K_0(m) = Q, the field of rationals.
  28.  
  29. K_r+1(m) = K_r(m) extended by all the roots of all the
  30.                   polynomials of the form x^n + P(x),
  31.            where n is a natural number and P is a polynomial 
  32.            of degree <= m with coefficient in K_r(m)
  33.  
  34. K(m) = U K_r(m), the union (direct limit) of the fields K_r.
  35.  
  36.  
  37. Let S(m) = minimum degree of a polymonial which does not split
  38.            in K(m).  Is this the same with `does not split'
  39.            replaced by `does not have a root' ?
  40.  
  41. S(0) = 5  (some quintics are not soluable by radicals),
  42. S(1) > 5  (all quintics are soluable by radicals and
  43.            ultraradicals - roots of x^5 + x + a).
  44.  
  45. To repeat the original poster, what is known about S(m) ?
  46.