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/ NetNews Usenet Archive 1992 #26 / NN_1992_26.iso / spool / sci / math / 14738 < prev    next >
Encoding:
Internet Message Format  |  1992-11-10  |  2.0 KB
  1. Path: sparky!uunet!mozz.unh.edu!kepler.unh.edu!dvf
  2. From: dvf@kepler.unh.edu (David V Feldman)
  3. Newsgroups: sci.math
  4. Subject: Re: Univariate polynomial equations and the FAQ
  5. Date: 11 Nov 1992 03:23:17 GMT
  6. Organization: University of New Hampshire  -  Durham, NH
  7. Lines: 40
  8. Message-ID: <1dpub5INN25p@mozz.unh.edu>
  9. References: <1992Nov6.184527.20793@sun0.urz.uni-heidelberg.de> <1dks02INNo3b@mozz.unh.edu> <1992Nov10.100903.18040@sun0.urz.uni-heidelberg.de>
  10. NNTP-Posting-Host: kepler.unh.edu
  11.  
  12. In article <1992Nov10.100903.18040@sun0.urz.uni-heidelberg.de> gsmith@urania.uucp (Gene W. Smith) writes:
  13.  
  14. [stuff deleted]
  15.  
  16. >Are you saying, fix some m, and consider all polynomials of the 
  17. >form
  18. >
  19. >x^n + a_m x^m + a_(m-1) x^(m-1) + ... + a_0, a_i in Q?  
  20. >
  21. >If so, then for m > 1 and n > 4, we have nonsolvable extensions of Q.
  22. >
  23. >If I am reading what you wrote below correctly, you are interested in
  24. >extensions which have Tschernhausen transformations into a form with
  25. >a_i beyond a certain point 0.  We can see that over Q there is an
  26. >immediate problem getting rid of the a_2 term.  If the extension in
  27. >question is totally real, the sums of the squares of the roots is
  28. >positive.  If we have eliminated the trace term already, we see
  29. >immediately that a_2 must be positive.
  30.  
  31. [stuff deleted]
  32.  
  33. Sorry for the equation that was hard to read.  As requested, I shall
  34. try to restate my question clearly and unambiguously:
  35.  
  36. Let  K_m  be the smallest extension of Q with the property that K_m
  37. contains all roots of all polynomials
  38.  
  39. x^n + a_m x^m + a_{m-1} x^{m-1} + ... + a_0, a_i in  K_m .
  40.  
  41. Assuming that K_m is not the algebraic closure of Q, let s(m) be the
  42. degree of the smallest algebraic number *not* in K_m.  What
  43. can be said about s(m) as a function of  m ?  Classical Galois theory
  44. and pre-Galois theory of equations give s(0)=5.  Tschernhausen
  45. transformations give s(m)>m+2.  I am afraid that this is all I know
  46. at the moment.
  47. >-- 
  48. >     Gene Ward Smith/Brahms Gang/IWR/Ruprecht-Karls University 
  49. >               gsmith@kalliope.iwr.uni-heidelberg.de
  50.  
  51. David Feldman
  52.