home *** CD-ROM | disk | FTP | other *** search
/ NetNews Usenet Archive 1992 #26 / NN_1992_26.iso / spool / sci / math / 14727 < prev    next >
Encoding:
Internet Message Format  |  1992-11-10  |  3.5 KB
  1. Xref: sparky sci.math:14727 sci.math.symbolic:2939
  2. Path: sparky!uunet!charon.amdahl.com!pacbell.com!decwrl!ames!sun-barr!cs.utexas.edu!zaphod.mps.ohio-state.edu!darwin.sura.net!jvnc.net!yale.edu!yale!gumby!destroyer!cs.ubc.ca!utcsri!torn!csd.unb.ca!morgan.ucs.mun.ca!nstn.ns.ca!ac.dal.ca!cordes
  3. From: cordes@ac.dal.ca (John Cordes)
  4. Newsgroups: sci.math,sci.math.symbolic
  5. Subject: Re: Help wanted in integration.
  6. Message-ID: <1992Nov10.171604.8765@ac.dal.ca>
  7. Date: 10 Nov 92 17:16:03 -0400
  8. References: <Nov.6.00.08.18.1992.2647@gandalf.rutgers.edu> <1992Nov10.031024.4001@wri.com>
  9. Organization: Dalhousie University, Halifax, Nova Scotia, Canada
  10. Lines: 76
  11.  
  12. In article <1992Nov10.031024.4001@wri.com>, victor@tuamotu.wri.com (Victor Adamchik) writes:
  13. > In article <Nov.6.00.08.18.1992.2647@gandalf.rutgers.edu>  
  14. > amarmahb@gandalf.rutgers.edu (Amar Mahboob Ali) writes:
  15. >> 
  16. >> Hi
  17. >> 
  18. >> Can anyone please help me in integrating the following.
  19. >> 
  20. >>            infinity
  21. >> 
  22. >>                 / 4    2             2
  23. >>                | x  sin (Pi a x)  sin (Pi b x)
  24. >>                | ---------------------------- dx
  25. >>                |    2    2 2   2    2 2
  26. >>               /   (x  - d )  (x  - c )
  27. >> 
  28. >>       -infinity       
  29. >>       
  30. >> 
  31. >> Where a,b,c and d are positive intergers.
  32. >> 
  33. >> This function has double poles on the real axis. Hence theorems
  34. >> related to computing such definite integrals dont seem to help me,
  35. >> as they allow at the most a simple pole on the real axis. Is there
  36. >> some other theorem that I can use? I would appretiate the least bit of
  37. >> help on this.
  38. >> 
  39. >> I am begining to think that there is no closed form solution. 
  40. >> Please help.
  41. >> 
  42. >> Thanks
  43. >> 
  44. >> Amar
  45.  
  46.   I didn't see the original posting, but just wanted to throw in the
  47. comment that there are _no_ poles on the real axis. The sine functions in
  48. the numerator vanish (linearly) at integer values of x, thus cancelling the
  49. vanishing denominators. Contour integration should handle the evaluation of
  50. your integral without too much difficulty (1st deform the integration
  51. contour away from the real axis, avoiding the points c,d; then introduce
  52. the complex exponential forms for the sine functions and expand the
  53. products in the numerator; close the contour appropriately for the various
  54. pieces, and do a little residue calculus). 
  55.  
  56.   If in fact the integrand _did_ have double poles on the real axis (the 
  57. integration contour) the integral would be divergent. When there are only 
  58. simple poles a finite value can be extracted by the Cauchy principal value 
  59. procedure.
  60.  
  61. BTW, I haven't done the contour integration outlined above so have no
  62. particular reason to doubt the solution found using Mathematica as given in
  63. the next few lines. As I write this, however, inspection of the integral
  64. posed suggests to me that it should be finite even for c=d, so I am
  65. suspicious of the answer given. 
  66.  
  67. > I evaluated your integral in the closed form and 
  68. > hope the following answer is a correct for integer a,b,c and d: > 
  69. > if 0 < a <= b then (a*(c^2 + d^2)*Pi^2)/(16*(c^2 - d^2)^2) 
  70. > if 0 < b <= a then (b*(c^2 + d^2)*Pi^2)/(16*(c^2 - d^2)^2) 
  71.  
  72. > I checked numerically (the precision was 6 digits) it for 
  73. > c = 2; d = 1; a = 3; b = 4 
  74. > c = 2; d = 1; a = 7; b = 4
  75. > and 
  76. > c = 2; d = 4; a = 3; b = 4 
  77. > If you are interested to look at the
  78. > proof send me email. I have 
  79. > used Mathematica to get that result.
  80. > Victor Adamchik 
  81. > victor@wri.com 
  82.  
  83.  
  84. John Cordes, Dept. of Physics,
  85. Dalhousie University, Halifax, N.S.,
  86. Canada  B3H 3J5       Internet: cordes@ac.dal.ca
  87.  
  88.