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/ NetNews Usenet Archive 1992 #26 / NN_1992_26.iso / spool / sci / math / 14685 < prev    next >
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Text File  |  1992-11-09  |  2.5 KB  |  51 lines
  1. Newsgroups: sci.math
  2. Path: sparky!uunet!snorkelwacker.mit.edu!galois!riesz!jbaez
  3. From: jbaez@riesz.mit.edu (John C. Baez)
  4. Subject: Re: Mercator Projection
  5. Message-ID: <1992Nov10.031043.10315@galois.mit.edu>
  6. Sender: news@galois.mit.edu
  7. Nntp-Posting-Host: riesz
  8. Organization: MIT Department of Mathematics, Cambridge, MA
  9. References: <a34uTB4w165w@netlink.cts.com> <israel.721212129@unixg.ubc.ca> <1992Nov8.214329.27209@CSD-NewsHost.Stanford.EDU>
  10. Date: Tue, 10 Nov 92 03:10:43 GMT
  11. Lines: 38
  12.  
  13. In article <1992Nov8.214329.27209@CSD-NewsHost.Stanford.EDU> pratt@Sunburn.Stanford.EDU (Vaughan R. Pratt) writes:
  14. >In article <israel.721212129@unixg.ubc.ca> israel@unixg.ubc.ca (Robert B. Israel) writes:
  15. >>In <a34uTB4w165w@netlink.cts.com> kfree@netlink.cts.com (Kenneth Freeman) writes:
  16. >>
  17. >>>My Mercator projection goes 'up' to only 84 degrees, ~the northern
  18. >>>tip of the classically huge Greenland. I'd like to know three things.
  19. >>>1) For a given area, what is its apparent increase in size for a 
  20. >>>given latitude? I.e., what is the rate of increase the closer you
  21. >>>get a pole (and infinity)?
  22. >>
  23. >>At latitude t, linear dimensions are multiplied by sec(t), so areas are
  24. >>multiplied by sec^2(t).
  25. >
  26. >Turns out if you try to calculate this using the 1986 Encyclopedia
  27. >Britannica you get sec^3(t).  The reason is that EB defines the
  28. >Mercator Projection to be the result of projecting the globe from its
  29. >center onto the cylinder tangent to the equator.  If this were true the
  30. >vertical direction would scale not by sec(t) but by the derivative of
  31. >tan(t), namely sec^2(t).
  32.  
  33. Okay, great, so I'm not utterly out of it.  But if lengths scale by
  34. sec^2(t) then areas scale by sec^4(t), not sec^3(t) -- by conformality,
  35. as you note.
  36.  
  37. >1.  What is the weakest condition required in addition to conformality
  38. >to uniquely determine the Mercator projection up to dilatation?
  39.  
  40. This is a nice question.  Given two conformal maps from the sphere with
  41. north and south pole removed to the cylinder, we can compose one with the
  42. inverse of the other to get a conformal map from the sphere minus 2
  43. points to itself.  What are the choices?  I just see a 2-parameter group
  44. of these, a subgroup of SU(1,1) (which acts as conformal transformations
  45. of S^2) - but could there be more that don't extend to S^2?  Over in
  46. "Mercator projection space" (= the cylinder) this 2-parameter group
  47. corresponds to north-south translations and east-west rotations.  No
  48. dilations arise in my way of formulating the problem because I am taking
  49. the range of the Mercator projection to be the cylinder, which admits no
  50. dilations.  
  51.