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/ NetNews Usenet Archive 1992 #26 / NN_1992_26.iso / spool / sci / math / 14683 < prev    next >
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Text File  |  1992-11-09  |  2.5 KB  |  52 lines
  1. Newsgroups: sci.math
  2. Path: sparky!uunet!snorkelwacker.mit.edu!galois!riesz!jbaez
  3. From: jbaez@riesz.mit.edu (John C. Baez)
  4. Subject: Re: Assorted questions and problems
  5. Message-ID: <1992Nov10.025719.10180@galois.mit.edu>
  6. Sender: news@galois.mit.edu
  7. Nntp-Posting-Host: riesz
  8. Organization: MIT Department of Mathematics, Cambridge, MA
  9. References: <BxDJ8v.DCw@world.std.com> <1992Nov8.181631.13298@Princeton.EDU>
  10. Date: Tue, 10 Nov 92 02:57:19 GMT
  11. Lines: 39
  12.  
  13. In article <1992Nov8.181631.13298@Princeton.EDU> tao@fine.princeton.edu (Terry Tao) writes:
  14. >I have three questions that I can't do.  I hope you can see from the
  15. >diversity of them that they are not homework.
  16. >
  17. >(1) what is the current status of the Bieberbach conjecture, that any
  18. >univalent holomorphic function f on the unit disk such that f(0) = 0 and
  19. >f'(0) = 1 satisfies the fact that the taylor expansion f(x) = \sum a_n x^n
  20. >has the property |a_n|  \leq n? The last I heard, it was proved for n up to
  21. >7 only, and also for all n sufficiently large |a_n| \leq 1.08 n.
  22.  
  23. This sounds like a homework problem.  (Just kidding.)  This conjecture
  24. was proved by deBranges a few years ago.  It's a famous story because he
  25. had earlier claimed to have proved it, but had made a mistake; this made
  26. people not take his second attempt seriously at first.  (Perhaps someone
  27. who knows the whole story may have fun telling it.)
  28.  
  29. >(2) Suppose X and Y are Banach spaces.  Can one construct a linear mapping
  30. >from X to Y which is NOT continous?e.g. a map from L^2 to L^2 which is not
  31. >bounded.  Is it possible to construct one without AC?
  32.  
  33. Yes, let D be a dense subspace of X that's not all of X.  Define f:X ->
  34. Y to be zero on D but then extend f to a nonzero linear function on all
  35. of X, which can be done by linear algebra nonsense.  In general this may
  36. use the axiom of choice, but there might be hope for a constructive
  37. example --- one needs an example of X with dense D such that there is an
  38. *explicit* basis for a complementary subspace E (i.e., X = D + E as
  39. vector spaces (not as Banach spaces, though!)).  
  40.  
  41. >(3) Assume the axiom of choice and the axiom of the continuum.  Is it true that two chains (totally ordered sets) which
  42. >both have the cardinality of the continuum have a one-to-one and onto order
  43. >preserving mapping betweem them?
  44.  
  45. What is "totally ordered"?  If you simply mean "linearly ordered" the
  46. answer is no; let one set be R and the other be R copies of Z stacked on
  47. top of each other, or the first ordinal with cardinality of the
  48. continuum.  If you mean "well-ordered" the answer is yes and you only
  49. need AC.  
  50.  
  51.  
  52.