home *** CD-ROM | disk | FTP | other *** search
/ NetNews Usenet Archive 1992 #26 / NN_1992_26.iso / spool / sci / math / 14667 < prev    next >
Encoding:
Text File  |  1992-11-09  |  2.0 KB  |  39 lines
  1. Newsgroups: sci.math
  2. Path: sparky!uunet!stanford.edu!CSD-NewsHost.Stanford.EDU!Sunburn.Stanford.EDU!pratt
  3. From: pratt@Sunburn.Stanford.EDU (Vaughan R. Pratt)
  4. Subject: Re: Assorted questions and problems
  5. Message-ID: <1992Nov9.232300.18490@CSD-NewsHost.Stanford.EDU>
  6. Sender: news@CSD-NewsHost.Stanford.EDU
  7. Organization: Computer Science Department,  Stanford University.
  8. References: <BxDJ8v.DCw@world.std.com> <1992Nov8.181631.13298@Princeton.EDU> <96778@netnews.upenn.edu>
  9. Date: Mon, 9 Nov 1992 23:23:00 GMT
  10. Lines: 27
  11.  
  12. In article <96778@netnews.upenn.edu> weemba@sagi.wistar.upenn.edu (Matthew P Wiener) writes:
  13. >In article <1992Nov8.181631.13298@Princeton.EDU>, tao@fine (Terry Tao) writes:
  14. >>(3) Assume the axiom of choice and the axiom of the continuum.  Is it
  15. >>true that two chains (totally ordered sets) which both have the
  16. >>cardinality of the continuum have a one-to-one and onto order
  17. >>preserving mapping betweem them?
  18. >
  19. >Of course not.  It's almost embarrassing to mention the counterexamples,
  20. >but here goes: (0,1) and [0,1].  The question you meant to ask, I assume,
  21. >was if the orderings were dense.  In that case, a back and forth argument
  22. >shows the two are isomorphic.  I'm pretty certain you need CH for this--I
  23. >think Shelah has the contrary model.
  24.  
  25. Actually they are not isomorphic, since only the latter has a least
  26. element and a greatest element.
  27.  
  28. The back-and-forth argument shows that there are exactly four
  29. *countable* dense chains, depending on whether they have a top and
  30. independently a bottom.  For a counterexample to the generalization of
  31. this to *uncountable* dense chains, remove the irrationals from the
  32. middle third of (0,1).  In any isomorphism of that chain with (0,1),
  33. the middle third of the former will be paired with an *interval* of the
  34. latter of measure 0, which can consist only of one point, so these are
  35. two nonisomorphic dense uncountable chains.  (One of these days I'll
  36. strike it lucky and get a measure-theoretic argument correct.  :-)
  37. -- 
  38. Vaughan Pratt
  39.