home *** CD-ROM | disk | FTP | other *** search
/ NetNews Usenet Archive 1992 #26 / NN_1992_26.iso / spool / sci / math / 14632 < prev    next >
Encoding:
Text File  |  1992-11-09  |  2.1 KB  |  48 lines
  1. Newsgroups: sci.math
  2. Path: sparky!uunet!zaphod.mps.ohio-state.edu!magnus.acs.ohio-state.edu!usenet.ins.cwru.edu!agate!linus!linus.mitre.org!gauss!bs
  3. From: bs@gauss.mitre.org (Robert D. Silverman)
  4. Subject: Re: Generalizing Prime Numbers
  5. Message-ID: <1992Nov9.122211.7824@linus.mitre.org>
  6. Sender: news@linus.mitre.org (News Service)
  7. Nntp-Posting-Host: gauss.mitre.org
  8. Organization: Research Computer Facility, MITRE Corporation, Bedford, MA
  9. References: <1992Nov8.191948.14975@athena.mit.edu>
  10. Date: Mon, 9 Nov 1992 12:22:11 GMT
  11. Lines: 35
  12.  
  13. In article <1992Nov8.191948.14975@athena.mit.edu> frisch1@athena.mit.edu (Jonathan Katz) writes:
  14. >I was wondering if anyone knows about any method of generalizing the concept of
  15. >prime numbers to the complex plane.
  16. >Is there more than one way to generalize it?
  17. >Any help on the would be appreciated.
  18.  
  19. Without discussing what is known as "generalized primes", one can indeed
  20. extend the concept of 'prime' [or more specifically, ideal with prime 
  21. norm] to the complex plane.
  22.  
  23. Let's stick to the simplest case; the ring of Gaussian integers.
  24. Note that if one adjoins i = sqrt(-1) to Z, then primes of the form
  25. 4N+1, are no longer prime.  For example consider 5.It can now be
  26. written as (2+i) (2-i).  The rational integer 5 (or ordinary integer) 5
  27. has norm 25 in this ring. The norm of each of (2+i) and (2-i) is 5,
  28. So we have written an ordinary prime as the product of complex numbers,
  29. each of which has prime norm.
  30.  
  31. In general, if one has a monic polynomial of degree d, with coefficients
  32. in Z, one can form a field by adjoining a root(s) of this polynomial
  33. to Q. This field has a integral basis, among which one can find 'primes'
  34. in the sense you mean. 
  35.  
  36. If one considers the ordinary primes you know and ask: which have factorizations
  37. in this field, the answer is that it is governed by what is known as the
  38. higher reciprocity laws (the same way quadratic reciprocity works for
  39. quadratic fields). 
  40.  
  41. This is a very brief, oversimplified introduction. Hope it helps.
  42.  
  43. --
  44. Bob Silverman
  45. These are my opinions and not MITRE's.
  46. Mitre Corporation, Bedford, MA 01730
  47. "You can lead a horse's ass to knowledge, but you can't make him think"
  48.