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/ NetNews Usenet Archive 1992 #26 / NN_1992_26.iso / spool / sci / math / 14610 < prev    next >
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Internet Message Format  |  1992-11-08  |  2.2 KB
  1. Path: sparky!uunet!dtix!darwin.sura.net!spool.mu.edu!agate!ames!news.hawaii.edu!uhunix.uhcc.Hawaii.Edu!lady
  2. From: lady@uhunix.uhcc.Hawaii.Edu (Lee Lady)
  3. Newsgroups: sci.math
  4. Subject: Re: Problem in Category Theory (elementary)
  5. Summary: Epimorphisms which are not surjections.
  6. Keywords: Category theory  epimorphism
  7. Message-ID: <1992Nov8.235226.11497@news.Hawaii.Edu>
  8. Date: 8 Nov 92 23:52:26 GMT
  9. References: <BxDJ8v.DCw@world.std.com>
  10. Sender: root@news.Hawaii.Edu (News Service)
  11. Followup-To: sci.math
  12. Organization: University of Hawaii (Mathematics Dept)
  13. Lines: 34
  14. Nntp-Posting-Host: uhunix.uhcc.hawaii.edu
  15.  
  16. In article <BxDJ8v.DCw@world.std.com> rjk@world.std.com (robert j kolker) writes:
  17. >Find a category with an arrow (morph) that is epic and monic but not an
  18. >isomorphism.
  19.  
  20. At the very least, one should stick to concrete categories to make the
  21. problem at all interesting.  Even so, there are lots and lots of concrete
  22. categories with epimorphisms which are not surjections, thus providing
  23. easy examples for the question.  
  24.  
  25. 1)  Let  X  be a set which is not a singleton.  Give  X  the discrete
  26. topology.  Let  Y  be the same set with the indiscrete topology and let 
  27. f:X --> Y  be the identity map, considered as a morphism in the category
  28. of topological spaces.  (Unlike the rest of the examples,  f  is not only
  29. an epimorphism but is in fact surjective.)  
  30.  
  31. 2)  Let  f:Q --> R  be the inclusion map from the rationals into the
  32. reals.  This is an epimorphism in the category of Hausdorff spaces
  33. since  Q  is dense in  R.  (Two continuous maps from  R  into a Hausdorff
  34. space which agree on  Q  have to be the same.)  
  35.  
  36. 3)  In the category of rings with identity, let  f:Z --> Q  be the
  37. inclusion map from the integers into the rationals.  This is an
  38. epimorphism in the category of rings.  
  39.  
  40. 4) In the category of *torsion free* abelian groups let  f:Z --> Q  be
  41. the inclusion map.  This is an epimorphism since if two homomorphisms
  42. from  Q  into a torsion free group agree on the element  1  they must be
  43. the same.  
  44.  
  45. --
  46. It is a poor sort of skepticism which merely delights in challenging
  47. those claims which conflict with one's own belief system.  
  48.                                                           --Bogus quote 
  49. lady@uhunix.uhcc.hawaii.edu         lady@uhunix.bitnet
  50.