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/ NetNews Usenet Archive 1992 #26 / NN_1992_26.iso / spool / sci / math / 14607 < prev    next >
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Text File  |  1992-11-08  |  2.8 KB  |  63 lines
  1. Newsgroups: sci.math
  2. Path: sparky!uunet!stanford.edu!CSD-NewsHost.Stanford.EDU!Sunburn.Stanford.EDU!pratt
  3. From: pratt@Sunburn.Stanford.EDU (Vaughan R. Pratt)
  4. Subject: Re: Mercator Projection
  5. Message-ID: <1992Nov8.214329.27209@CSD-NewsHost.Stanford.EDU>
  6. Sender: news@CSD-NewsHost.Stanford.EDU
  7. Organization: Computer Science Department,  Stanford University.
  8. References: <a34uTB4w165w@netlink.cts.com> <israel.721212129@unixg.ubc.ca>
  9. Date: Sun, 8 Nov 1992 21:43:29 GMT
  10. Lines: 51
  11.  
  12. In article <israel.721212129@unixg.ubc.ca> israel@unixg.ubc.ca (Robert B. Israel) writes:
  13. >In <a34uTB4w165w@netlink.cts.com> kfree@netlink.cts.com (Kenneth Freeman) writes:
  14. >
  15. >>My Mercator projection goes 'up' to only 84 degrees, ~the northern
  16. >>tip of the classically huge Greenland. I'd like to know three things.
  17. >>1) For a given area, what is its apparent increase in size for a 
  18. >>given latitude? I.e., what is the rate of increase the closer you
  19. >>get a pole (and infinity)?
  20. >
  21. >At latitude t, linear dimensions are multiplied by sec(t), so areas are
  22. >multiplied by sec^2(t).
  23.  
  24. Turns out if you try to calculate this using the 1986 Encyclopedia
  25. Britannica you get sec^3(t).  The reason is that EB defines the
  26. Mercator Projection to be the result of projecting the globe from its
  27. center onto the cylinder tangent to the equator.  If this were true the
  28. vertical direction would scale not by sec(t) but by the derivative of
  29. tan(t), namely sec^2(t).
  30.  
  31. Since the Rand McNally Mercator projection of the world hanging in our
  32. kids' playroom fits your formula exactly, and since the EB definition
  33. would make Greenland (.84M sq.mi) look at least five times bigger than
  34. South America (6.8M sq.mi) (it looks roughly the same size), I'd say
  35. you were right.
  36.  
  37. So how is the Mercator projection defined?  One way I've seen is that
  38. it maps rhumb lines (lines of constant bearing, not sailors waiting for
  39. their daily ration) to straight lines of the corresponding slope, which
  40. would seem to determine it uniquely up to dilatation (translation or
  41. scaling).
  42.  
  43. An immediate consequence of this definition is that the Mercator
  44. projection is conformal (locally shape-preserving).  However
  45. conformality in the plane is weaker than dilatation (e.g. z^2 as a
  46. transformation of the complex plane, which sends z+e to z^2+2ze for
  47. small e, rotating and scaling e by 2z).  So conformality alone isn't
  48. enough to define the Mercator projection.  One might ask for the
  49. projection to be linear, but what does linearity mean when projecting
  50. from a globe?  The EB definition gives a notion of linear projection
  51. from a globe, but unfortunately it's wrong.
  52.  
  53. So with the goal being to patch the EB definition:
  54.  
  55. 1.  What is the weakest condition required in addition to conformality
  56. to uniquely determine the Mercator projection up to dilatation?
  57.  
  58. 2.  What other natural definitions exist for the Mercator projection?
  59.  
  60. The EB should use the best definition.
  61. -- 
  62. Vaughan Pratt
  63.