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/ NetNews Usenet Archive 1992 #26 / NN_1992_26.iso / spool / sci / math / 14577 < prev    next >
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Text File  |  1992-11-08  |  2.4 KB  |  64 lines
  1. Newsgroups: sci.math
  2. Path: sparky!uunet!snorkelwacker.mit.edu!galois!riesz!jbaez
  3. From: jbaez@riesz.mit.edu (John C. Baez)
  4. Subject: What is a knot?
  5. Message-ID: <1992Nov7.212557.24399@galois.mit.edu>
  6. Sender: news@galois.mit.edu
  7. Nntp-Posting-Host: riesz
  8. Organization: MIT Department of Mathematics, Cambridge, LA
  9. Date: Sat, 7 Nov 92 21:25:57 GMT
  10. Lines: 52
  11.  
  12. In article <COLUMBUS.92Nov6105242@strident.think.com>
  13. columbus@strident.think.com (Michael Weiss) writes:
  14.  
  15. >How would one define a (tame) knot, intrinsically?  Definitions I am
  16. >familiar with either involve modding out by ambient isotopy (in fact
  17. there
  18. >are subtle points here, I believe-- perhaps someone more knowledgeable
  19. >would like to post), or by Reidemeister moves.
  20.  
  21. Well, a (tame) knot is just a circle embedded in R^3, or, if you prefer
  22. something less intuitive, S^3.  But you seem to be speaking of the
  23. ambient isotopy class of the knot, i.e., where one forgets about
  24. everything except its topology.  As you note this can be defined as
  25. either
  26. 1) equivalence class of knots under diffeomorphisms of R^3 that are
  27. connected to the identity in the group of diffeomorphisms (i.e.,
  28. reflection is a no-no).
  29. 2) equivalence class of knots under the following: two knots
  30. (embeddings) are equivalent if they can be connected by a continuous
  31. 1-parameter family of embeddings.
  32. 3) equivalence class of knot diagrams (2d pictures of knots, which I
  33. won't define) under the Reidemeister moves and diffeomorphisms of the
  34. plane that are connected to the identity in the group of
  35. diffeomorphisms.
  36.  
  37. These are all equivalent.
  38.  
  39. >Is the field just too young to have a suitably slick and (on first
  40. >encounter) unintuitive definition?
  41.  
  42. If you want some definitions that are less intuitive, you could try the
  43. following.  These are actually definitions of isotopy classes of *links*
  44. - it soon becomes clear that there's no point in studying knots without
  45. studying links too.
  46.  
  47. 4) equivalence classes of braids under the Markov moves
  48. 5) Hom(0,0) in the category of unframed unoriented tangles.
  49.  
  50.  
  51. Actually, it turns out to be very good to work with framed oriented links.
  52. Then we have the marvelously erudite
  53.  
  54. 5') Hom(0,0) in the free tortile tensor category generated by a single
  55. object.
  56.  
  57. This is the best definition for getting link invariants from quantum
  58. group representations.
  59.  
  60. All the above definitions involve equivalence relations, although in
  61. some cases this is hidden.
  62. ~
  63.  
  64.