home *** CD-ROM | disk | FTP | other *** search
/ NetNews Usenet Archive 1992 #26 / NN_1992_26.iso / spool / sci / math / 14489 < prev    next >
Encoding:
Text File  |  1992-11-07  |  2.3 KB  |  46 lines
  1. Newsgroups: sci.math
  2. Path: sparky!uunet!stanford.edu!leland.Stanford.EDU!leland.Stanford.EDU!ledwards
  3. From: ledwards@leland.Stanford.EDU (Laurence James Edwards)
  4. Subject: Re: definition of topological space
  5. Message-ID: <1992Nov6.091200.7105@leland.Stanford.EDU>
  6. Keywords: Topology; Open sets; Continuity
  7. Sender: news@leland.Stanford.EDU (Mr News)
  8. Organization: DSG, Stanford University, CA 94305, USA
  9. References: <1992Nov5.033835.5180@leland.Stanford.EDU> <1992Nov5.094404.15550@infodev.cam.ac.uk> <1992Nov5.165530.21866@CSD-NewsHost.Stanford.EDU>
  10. Date: Fri, 6 Nov 92 09:12:00 GMT
  11. Lines: 33
  12.  
  13. In article <1992Nov5.165530.21866@CSD-NewsHost.Stanford.EDU>, pratt@Sunburn.Stanford.EDU (Vaughan R. Pratt) writes:
  14. |> In article <1992Nov5.094404.15550@infodev.cam.ac.uk> rgep@emu.pmms.cam.ac.uk (Richard Pinch) writes:
  15. |> >Incidentally, {1,2,3} {} {1} is a perfectly good family of open sets
  16. |> >for a topology on {1,2,3}: but it has nothing to do with epsilons and
  17. |> >deltas.
  18. |> 
  19. |> Well, not nothing at all.  Any topology determines the nearness
  20. |> relation:  point x is NEAR set Y when x does not belong to Y but does
  21. |> belong to every closed set containing Y (i.e. to the CLOSURE of Y).
  22. |> 
  23. |> (The points near the INTERIOR of X (= complement of closure of
  24. |> complement of X) constitute the FRONTIER of X.  The BOUNDARY of X is
  25. |> the portion of its frontier lying within X, equivalently those points
  26. |> near the complement of X.  So the frontier of X is the boundary of X
  27. |> plus all points near X.)
  28. |> 
  29. |> Applying this to the example, 1 is a hermit (is near no set) while 2 is
  30. |> near {1}, {3}, and {1,3}, and 3 is near {1}, {2}, and {1,2}.  (So x
  31. |> being near singleton {y} need not imply that y is near singleton {x}.)
  32. |> 
  33. |> This is the topologically abstract expression of the general idea of
  34. |> epsilon-delta.
  35.  
  36. Ok, this was one of the things that was confusing me with regard to finite
  37. sets. To me it seemed that determining the closure requires the definition
  38. of neighborhood and that neighborhood depends on the definition of near,
  39. but in the above near depends on the definition of closure. I'm having a
  40. hard time figuring out why this isn't a circular chain of definitions.
  41. To my untrained eye it would seem that a set in the absence of any
  42. ordering or distance relationships cannot be categorized as open or
  43. closed.
  44.  
  45. Larry Edwards
  46.