home *** CD-ROM | disk | FTP | other *** search
/ NetNews Usenet Archive 1992 #26 / NN_1992_26.iso / spool / sci / math / 14467 < prev    next >
Encoding:
Text File  |  1992-11-06  |  3.5 KB  |  81 lines
  1. Newsgroups: sci.math
  2. Path: sparky!uunet!charon.amdahl.com!pacbell.com!decwrl!sdd.hp.com!zaphod.mps.ohio-state.edu!usc!rpi!news.ans.net!cmcl2!psinntp!psinntp!scylla!daryl
  3. From: daryl@oracorp.com (Daryl McCullough)
  4. Subject: Re: Games with Nonmeasurable Sets
  5. Message-ID: <1992Nov4.191956.26318@oracorp.com>
  6. Organization: ORA Corporation
  7. Date: Wed, 4 Nov 1992 19:19:56 GMT
  8. Lines: 71
  9.  
  10. In article <thompson.720739075@daphne.socsci.umn.edu>,
  11. thompson@atlas.socsci.umn.edu (T. Scott Thompson) writes:
  12.  
  13. >I am puzzled by the implicit definition of "certainty" in the
  14. >discussion of these problems.
  15.  
  16. If the probability of an outcome is 1, then the outcome is said to be
  17. certain (or almost certain to be more precise).
  18.  
  19. >Based on the original game and the followup versions it appears that
  20. >the "paradox" arises from the fact that the sets in which either
  21. >player wins are nonmeasurable.  This leads me to question the sense in
  22. >which each player is "certain" that she will win.  The answer to this
  23. >question appears to be that each player knows that the outer measure
  24. >of the set in which she wins is one (and the inner measure of its
  25. >complement is zero).
  26.  
  27. You are right, that before the game starts, the probability for each
  28. player that she will win is undefined. However, I am talking about the
  29. probabilities each player calculates *after* she is dealt a card. For
  30. definiteness, let me assume that player 1 is randomly dealt a card, and
  31. then player 2. Let's then look at how the probabilities work from the
  32. point of view of player 1.
  33.  
  34. There are three stages in the game: Stage 1: neither player has been
  35. dealt a card, Stage 2: player 1 is dealt a card, and Stage 3: player 2
  36. is dealt a card.
  37.  
  38. At Stage 1, player 1 tries to calculate her odds of winning as
  39. follows: The probability of player 1 winning = the measure of the set
  40. of all pairs <x,y> such that LT(x,y) = undefined, since this is not a
  41. measurable set. At this point, player 1 has no confidence that she
  42. will win.
  43.  
  44. At Stage 2, player 1 has been dealt a card labelled with the real r1.
  45. She is allowed to reassess her odds of winning based on the
  46. information that has been dealt r1. Just as in the case with the game
  47. "High Card Wins" after being dealt the King of Spades, she is allowed
  48. to recompute her odds based on this additional information. She now
  49. computes her odds as follows: Let C(r1) = set of all reals r2 in [0,1]
  50. such that LT(r2,r1). Then
  51.  
  52.      Probability of player 1 winning after being dealt r1
  53.      = Probability that player 2 will be dealt a card greater than r1 in
  54.        the ordering LT
  55.      = 1 - Probability that player 2 will be dealt a lower card than r1 =
  56.      = 1 - measure of C(r1)
  57.      = 1
  58.  
  59. (Since C(r1) is a countable set, it has measure 0).
  60.  
  61. So, while the probability of player 1 winning starts off undefined, it
  62. changes to probability 1 after seeing what card she was dealt.
  63.  
  64. >If I were to be told "the probability that you have won is no less
  65. >than zero and at most one" then I don't think that I would be very
  66. >"certain" that I had won.
  67.  
  68. After seeing your card, you calculate that your probability of winning
  69. is 1. Period. Inner and outer measures agree that the measure of a
  70. countable set is always zero, and complements of countable sets have
  71. measure 1. So assuming "probability 1" means "certain", then you
  72. should be certain you will win. Of course, the fact that your opponent
  73. will also calculate 1 as her probability of winning, there is
  74. something strange about identifying "certain" with "probability 1".
  75.  
  76. Daryl McCullough
  77. ORA Corp.
  78. Ithaca, NY
  79.  
  80.  
  81.