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/ NetNews Usenet Archive 1992 #26 / NN_1992_26.iso / spool / sci / math / 14456 < prev    next >
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Text File  |  1992-11-06  |  2.8 KB  |  54 lines
  1. Newsgroups: sci.math
  2. Path: sparky!uunet!snorkelwacker.mit.edu!bloom-picayune.mit.edu!athena.mit.edu!tycchow
  3. From: tycchow@athena.mit.edu (Timothy Y Chow)
  4. Subject: Why Atlases?  (was: Re: What is a manifold?)
  5. Message-ID: <1992Nov5.205854.1485@athena.mit.edu>
  6. Sender: news@athena.mit.edu (News system)
  7. Nntp-Posting-Host: alfredo.mit.edu
  8. Organization: None.  This saves me from writing a disclaimer.
  9. Date: Thu, 5 Nov 1992 20:58:54 GMT
  10. Lines: 42
  11.  
  12. Vaughan Pratt asks why the complicated notion of atlas is essential,
  13. since it seems to involve just as much arbtirariness as a retract
  14. definition.
  15.  
  16. In my previous articles I glossed over the distinctions between
  17. topological and smooth manifolds.  In the case of topological manifolds
  18. I think the embedding-independent definition is well-motivated.  (Feel
  19. free to disagree, of course.)  There isn't any of the arbitrariness of
  20. the choice of open charts that there is in the case of smooth manifolds:
  21. we just require that at EVERY point there is SOME neighborhood that's
  22. homeomorphic to R^n.
  23.  
  24. In the case of differentiable manifolds, however, there is a certain
  25. arbitrariness in choosing an atlas.  The arbitrariness can be removed by
  26. requiring the set of charts to be maximal, but this doesn't really answer
  27. the question of why this definition is superior to the retract definition 
  28. that Vaughan Pratt suggests.
  29.  
  30. I think the point is that a lot of basic theorems about smooth manifolds
  31. require you to work with coordinate neighborhoods of points.  In order
  32. to apply the inverse function theorem or other techniques from calculus,
  33. you need to identify a small portion of the manifold with an open set in
  34. Euclidean space.  Since you need the existence of such things all the
  35. time, you might as well build it into the definition.  Even with the
  36. retract definition, at some point you're going to have to prove that
  37. you can take coordinate neighborhoods.
  38.  
  39. To some extent it is just a matter of taste whether you begin with the
  40. existence of global tubular neighborhoods and prove the existence of
  41. local coordinate neighborhoods or proceed the other way around.  In
  42. favor of the standard approach I think it can be said that it is more
  43. in keeping with the approach in modern mathematics of defining objects
  44. as intrinsically as possible, i.e., without having to create a habitat
  45. for them to live in before allowing them to exist, but focusing on the
  46. object itself as much as possible.  IMHO this is a more natural way to
  47. define mathematical objects.
  48.  
  49. Incidentally, another way to avoid the apparent arbitrariness of the
  50. choice of charts for the atlas is to define a smooth manifold by
  51. specifying, instead of these little overlapping charts, the sheaf of
  52. differentiable functions on the manifold.  This is more in the spirit
  53. of scheme theory, but I think we're starting to digress here.
  54.