home *** CD-ROM | disk | FTP | other *** search
/ NetNews Usenet Archive 1992 #26 / NN_1992_26.iso / spool / sci / logic / 1926 < prev    next >
Encoding:
Text File  |  1992-11-05  |  2.8 KB  |  58 lines
  1. Newsgroups: sci.logic
  2. Path: sparky!uunet!pmafire!mica.inel.gov!guinness!garnet.idbsu.edu!holmes
  3. From: holmes@garnet.idbsu.edu (Randall Holmes)
  4. Subject: Re: Impredicativity - was: Russell's Paradox
  5. Message-ID: <1992Nov5.170354.29866@guinness.idbsu.edu>
  6. Sender: usenet@guinness.idbsu.edu (Usenet News mail)
  7. Nntp-Posting-Host: garnet
  8. Organization: Boise State University
  9. References: <Bx81Ho.9HL@cantua.canterbury.ac.nz> <TORKEL.92Nov5103134@isis.sics.se>
  10. Date: Thu, 5 Nov 1992 17:03:54 GMT
  11. Lines: 45
  12.  
  13. In article <TORKEL.92Nov5103134@isis.sics.se> torkel@sics.se (Torkel Franzen) writes:
  14. >In article <Bx81Ho.9HL@cantua.canterbury.ac.nz> wft@math.canterbury.ac.nz 
  15. >(Bill Taylor) writes:
  16. >
  17. >   >A = { 1 , { 2 , { 3 , { 4 , {.....}}}}}
  18. >   >B = { 1 , { 1 , { 1 , { 1 , {.....}}}}}
  19. >   >Can B above, be obtained from A above, by ZF methods.
  20. >
  21. >  The question is vague in several respects, but the most likely
  22. >answer is no. A, to put this into formal ZF terms, is, let us say, the
  23. >range of a function f defined on the natural numbers, where
  24. >f(n)={n,f(n+1)} for all n.  Assuming the existence of such a function
  25. >in ZF (without foundation) does not in any obvious way (and hence not
  26. >at all, by the argument from experience) imply the existence of a set
  27. >x such that x={1,x}.  In particular, Replacement by itself is no help
  28. >since to get x using replacement, we need to define a function h by
  29. >h(n)=G(f(n)), where G({a,b})={1,G(b)}, and there is no way of defining
  30. >G in ZF (without foundation) so that this is provable. In other words:
  31. >Replacement allows us to make infinite "substitutions" in sets, but to
  32. >make infinite substitutions in non-well-founded sets we need a
  33. >corresponding non-well-founded recursion principle.
  34. >
  35. >  Of course, even if this is correct it doesn't follow that accepting
  36. >A and rejecting B makes any sense. Or in other words: it doesn't help
  37. >explain what mathematical objects, if any, you have in mind.
  38.  
  39. Neither A nor B can be shown to represent a unique object in ZFC-.
  40. You are being hypnotized by your notation.  
  41.  
  42. There _can_ be sequences of sets xi and yi such that xi = {i,x[i+1}
  43. and yi = {1,x[i+1]}  in ZFC-.  There can be many of each!  Thus A may
  44. ambiguously denote many objects, and B may denote many objects -- nor
  45. need an object denoted by B be an element of itself (it may contain a
  46. _different_ object of the form B).
  47.  
  48. Aczel's AFA has a "strong extensionality" consequence which asserts
  49. that there can be at most one object of the form A and at most one
  50. object of the form B, in addition to its "non-well-foundedness"
  51. consequence which asserts that there is at least one of each.
  52.  
  53. -- 
  54. The opinions expressed        |     --Sincerely,
  55. above are not the "official"    |     M. Randall Holmes
  56. opinions of any person        |     Math. Dept., Boise State Univ.
  57. or institution.            |     holmes@opal.idbsu.edu
  58.