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/ NetNews Usenet Archive 1992 #23 / NN_1992_23.iso / spool / sci / math / 13324 < prev    next >
Encoding:
Internet Message Format  |  1992-10-16  |  1.4 KB
  1. Path: sparky!uunet!mcsun!uknet!pavo.csi.cam.ac.uk!gjm11
  2. From: gjm11@cus.cam.ac.uk (G.J. McCaughan)
  3. Newsgroups: sci.math
  4. Subject: Re: Do you know ?
  5. Message-ID: <1992Oct16.164029.17849@infodev.cam.ac.uk>
  6. Date: 16 Oct 92 16:40:29 GMT
  7. References: <1992Oct16.050019.25103@noose.ecn.purdue.edu>
  8. Sender: news@infodev.cam.ac.uk (USENET news)
  9. Organization: U of Cambridge, England
  10. Lines: 21
  11. Nntp-Posting-Host: bootes.cus.cam.ac.uk
  12.  
  13. In article <1992Oct16.050019.25103@noose.ecn.purdue.edu> kavuri@lips.ecn.purdue.edu (Surya N Kavuri ) writes:
  14.  
  15. >  Can you give me a function on an interval [a b] which is
  16. >  not differentiable anywhere on that interval ?
  17.  
  18. I presume you want it to be continuous too.
  19.  
  20. For k=1,2,3,... let f_k be the function whiose graph starts at (a,0) and
  21. then zig-zags up and down with slope alternately +1 and -1, changing direction
  22. every 2^(-k).(a-b). So the graph of f_k has 2^(k-1) pointy tops, and its
  23. maximum value is 2(-k).
  24.  
  25. Let f be the sum over all k of f_k. Then it's very easy to show that f is
  26. continuous; but also f is not differentiable anywhere; to show f is not
  27. differentiable at x, take successively nearer and nearer points of the form
  28. a+t(a-b)/2^k (there are points of this form arbitrarily near x) and look at
  29. the gradients of the chords joining x to them, which go haywire.
  30.  
  31. -- 
  32. Gareth McCaughan     Dept. of Pure Mathematics & Mathematical Statistics,
  33. gjm11@cus.cam.ac.uk  Cambridge University, England.    [Research student]
  34.