home *** CD-ROM | disk | FTP | other *** search
/ NetNews Usenet Archive 1992 #23 / NN_1992_23.iso / spool / sci / math / 13267 < prev    next >
Encoding:
Text File  |  1992-10-15  |  2.6 KB  |  53 lines

  1. Newsgroups: sci.math
  2. Path: sparky!uunet!snorkelwacker.mit.edu!mintaka.lcs.mit.edu!zurich.ai.mit.edu!ara
  3. From: ara@zurich.ai.mit.edu (Allan Adler)
  4. Subject: Re: What a weird group!!!
  5. In-Reply-To: jbaez@riesz.mit.edu's message of 15 Oct 92 04:53:12 GMT
  6. Message-ID: <ARA.92Oct15162611@camelot.ai.mit.edu>
  7. Sender: news@mintaka.lcs.mit.edu
  8. Organization: M.I.T. Artificial Intelligence Lab.
  9. References: <1992Oct15.045312.13089@galois.mit.edu>
  10. Date: Thu, 15 Oct 1992 21:26:11 GMT
  11. Lines: 40
  12.  
  13. The Bohr compactification of the reals is the dual group of the group R_d,
  14. where R_d denotes the additive group of the reals with the discrete
  15. topology. Since the group R_d is the direct limit of its finitely generated
  16. subgroups, which are free abelian, the Bohr compactification is the
  17. inverse limit of tori. Since the group R_d is isomorphic to the direct sum
  18. of two copies of itself, the Bohr compactification of R is topologically
  19. isomorphic to the product of two copies of itself. Actually, R_d is
  20. isomorphic to the direct sum of continuum many copies of itself, so 
  21. the Bohr compactification is topologically isomorphic to the product
  22. of continuum many copies of itself. The cardinality of the Bohr 
  23. compactification of R is 2^c, where c is the cardinality of R.
  24.  
  25. To get a little bit of a picture of what the Bohr compactification of R
  26. might look like, consider something simpler: the dual group of the
  27. additive group Q_d of rationals (with the discrete topology). It too can
  28. be described as an inverse limit of tori, actually of circle groups,
  29. but there is another way to describe it which is quite satisfying:
  30. the dual of Q_d is topologically isomorphic to the additive group of
  31. adeles modulo the additive group of rationals. Since the group R_d is
  32. the direct sum of continuum many copies of Q_d, it follows that the
  33. Bohr compactification of R is the product of continuum  many copies of
  34. (adeles mod rationals).
  35.  
  36. The relation to almost period functions is that a function on R is
  37. almost periodic if it extends continuously to the Bohr compactification
  38. of R. Since the Bohr compactification is a compact abelian group, one
  39. can take the Fourier transform there and get a function on the  dual
  40. group of the Bohr compactification, i.e. on R_d. Thus, one represents
  41. an almost periodic function as a series involving exponentials exp(2pi i r x),
  42. where the various r are not necessarily commensurable (actually, as an
  43. integral over R_d, which has counting measure. The support of such an
  44. integrand must be countable, hence the integral is a series.).
  45.  
  46. Contributions for periodontal surgery may be mailed to:
  47. Allan Adler
  48. 36 Rolens Drive, Apt. C4
  49. Kingston, RI 02881
  50.  
  51. Allan Adler
  52. ara@altdorf.ai.mit.edu
  53.