home *** CD-ROM | disk | FTP | other *** search
/ NetNews Usenet Archive 1992 #23 / NN_1992_23.iso / spool / sci / math / 13217 < prev    next >
Encoding:
Internet Message Format  |  1992-10-15  |  2.3 KB
  1. Path: sparky!uunet!cis.ohio-state.edu!zaphod.mps.ohio-state.edu!uakari.primate.wisc.edu!usenet.coe.montana.edu!news.u.washington.edu!ogicse!das-news.harvard.edu!husc-news.harvard.edu!germain!conrad
  2. From: conrad@germain.harvard.edu (Keith Conrad)
  3. Newsgroups: sci.math
  4. Subject: p-adic gamma
  5. Message-ID: <1992Oct14.234914.16403@husc3.harvard.edu>
  6. Date: 15 Oct 92 03:49:13 GMT
  7. Article-I.D.: husc3.1992Oct14.234914.16403
  8. Distribution: world
  9. Organization: Dept. of Math, Harvard Univ.
  10. Lines: 36
  11. Nntp-Posting-Host: germain.harvard.edu
  12.  
  13. p = 3, 0 <= n <= 1082, n = 9k + r with 0 <= r <= 8
  14. A_3(9k) = 2k
  15. A_3(9k + 1) = 2k
  16. A_3(9k + 2) = 2k
  17. A_3(9k + 3) = 2k + 2
  18. A_3(9k + 4) = 2k + 1
  19. A_3(9k + 5) = 2k + 3 + ord_3(2k + 1)
  20. A_3(9k + 6) = 2k + 2
  21. A_3(9k + 7) = 2k + 2
  22. A_3(9k + 8) = 2k + 3
  23.  
  24. I have looked at A_p(n) as well for p = 5, 7, 11, 13, and 17 for
  25. n running up to at least 400 (in the case of 5 and 7 for n up to 1400),
  26. and what seems to be happening is 
  27.          A_p(n) = (p - 1)[n/p^2] + r_n,   ( [ ] = greatest integer)
  28. where r_n >= 0 and for "most" residue classes n(mod p^2) it turns out that
  29. if m = n (mod p^2) then r_m = r_n.  For example, when p = 2 this "mod p^2 
  30. periodicity of r_n" occurs for all classes mod 4.  When p = 3 there is 
  31. one exception, namely the class of 5 mod 9.  When p = 5 there seem to be 
  32. (at least) four exceptions: the classes of 4, 7, 16, and 22 mod 25.  When 
  33. p = 7 I have so far found only one class mod 49 for which the n in that
  34. class don't have the same r_n value - it's 19 mod 49.  Due to the slower
  35. growth of A_p(n) as p increases, there are probably some more exceptions to
  36. this when p = 7 which I have not located.
  37. Even in the (seemingly) few exceptional classes mod p^2 not admitting a
  38. constant r_n value, it seems that r_n = const. + s_n where the const. only 
  39. depends on the residue class and s_n increases very slowly with n (see the data
  40. for p = 3 and the class of 5 mod 9).  
  41. So what I'd like to know is if anyone can explain this behavior of
  42. A_p(n), ESPECIALLY the periodicity of the r_n's mod p^2.  The fact that
  43. A_p(n) grows like (p - 1)n/p^2 seems to be due to Gamma_p(n) being locally
  44. analytic on cosets of pZ_p (well, for p > 2), although I haven't worked out
  45. the details on this.
  46.  
  47. Responses can be given on this newsgroup, although I'd also appreciate it 
  48. if they could be sent to me as well.  Thanks.
  49.