home *** CD-ROM | disk | FTP | other *** search
/ NetNews Usenet Archive 1992 #23 / NN_1992_23.iso / spool / sci / math / 13181 < prev    next >
Encoding:
Internet Message Format  |  1992-10-14  |  1.8 KB
  1. Path: sparky!uunet!pipex!unipalm!uknet!gdt!masfeb
  2. From: masfeb@gdr.bath.ac.uk (F E Burstall)
  3. Newsgroups: sci.math
  4. Subject: Re: Spectum of a Lie group ...
  5. Message-ID: <1992Oct14.193148.26001@gdr.bath.ac.uk>
  6. Date: 14 Oct 92 19:31:48 GMT
  7. References: <1992Oct7.202037.14510@midway.uchicago.edu>
  8. Organization: School of Mathematics, University of Bath, UK
  9. Lines: 37
  10.  
  11. In the referenced article, kwhyte@dent.uchicago.edu (Kevin Whyte) writes:
  12. >
  13. >
  14. >  Let G be a compact semi-simple Lie group.  The killing
  15. >form gives a canonical Riemannian metric, and hence a 
  16. >laplacian acting on smooth functions.  What are the eigen-values
  17. >of this laplacian?
  18. >
  19. >  L (the laplacian) is a G invariant elliptic operator, on, say
  20. >L2(G).  Hence the eigenspaces  are finite dimensional and G invariant.
  21. >Peter-Weyl then tells us that each one of these is just some sum
  22. >of irreduciple reps. of G (each of which occurs as many times as
  23. >its weight).  Thus, given an irreducible rep. of G, it occurs in at
  24. >most n such eigenspaces (if G is an n dimensional rep.), so it
  25. >should have n positive real numbers associated to it. What are they?
  26. >
  27. >-Kevin
  28. >kwhyte@math.uchicago.edu
  29.  
  30.  
  31. These questions are essentially algebraic: the action of the Laplacian on
  32. smooth functions is just that of the Casimir element in the universal
  33. envelopping algebra.  Now on an irred subrep, the eigenvalue of the Casimir is
  34. determined entirely by the highest weight of the subrep via a simple formula
  35. which is something like
  36.  
  37. evalue=(l,l+2r)
  38.  
  39. where l is the highest wt and r is half the sum of the positive roots (I cannot
  40. remember the exact formula right now...).  This answers yr questions:
  41.  
  42. 1) The evals of the Laplacian are the numbers (l,l+2r) (or whatever) as l
  43. ranges over all dominant weights (all irred reps appear in the regular rep).
  44.  
  45. 2) A given irred only appears in ONE eigenspace of the Laplacian.
  46.  
  47. Hope this helps--Fran
  48.