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/ NetNews Usenet Archive 1992 #23 / NN_1992_23.iso / spool / sci / math / 13014 < prev    next >
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Text File  |  1992-10-10  |  2.4 KB  |  50 lines
  1. Newsgroups: sci.math
  2. Path: sparky!uunet!caen!zaphod.mps.ohio-state.edu!magnus.acs.ohio-state.edu!wjcastre
  3. From: wjcastre@magnus.acs.ohio-state.edu (W.Jose Castrellon G.)
  4. Subject: Re: Order -> Algebraic Structure
  5. Message-ID: <1992Oct10.182814.19656@magnus.acs.ohio-state.edu>
  6. Keywords: Rationals,Dense Ordering,Algebraic Structure
  7. Sender: news@magnus.acs.ohio-state.edu
  8. Nntp-Posting-Host: top.magnus.acs.ohio-state.edu
  9. Organization: The Ohio State University,Math.Dept.(studnt)
  10. References: <BvvuD8.I26@world.std.com> <1992Oct10.161042.19021@magnus.acs.ohio-state.edu>
  11. Date: Sat, 10 Oct 1992 18:28:14 GMT
  12. Lines: 36
  13.  
  14. In article <1992Oct10.161042.19021@magnus.acs.ohio-state.edu> I write:
  15.  
  16. >In article <BvvuD8.I26@world.std.com> rjk@world.std.com (robert j kolker)
  17. >writes:
  18. >
  19. >>Let H be a denumerable completely ordered set, where the ordering is
  20. >>dense, and there are no maximum or minumum elements. It is well known that
  21. >>any two sets having these properties are order isomorphic. 
  22. >>
  23. >>The set of rationals Q is a fortiori this set (up to an isomorphism).
  24. >>Clearly the seemingly innocent densely ordered set inherits its algebraic
  25. >>properties via this isomorphism or does it? 
  26. >>
  27. >>Is there someway of showing independent of this coincidental isomorphism ,
  28. >>that denumerable,densely ordered -> the algebraic structure of Q, i.e. Q
  29. >>is a denumerable field or characteristic 0.
  30. >>
  31. >>Your input would be appreciated.
  32. >>
  33. >
  34. >I think it is not possible to prove a statement along those lines, as one
  35. >can cook up examples of denumerable densely ordered fields of characteris-
  36. >tic zero that dont have the same global properties of Q ; for example Q is
  37. >an Archimedean field (i.e given any positive element  x, and an arbitrary 
  38. >positive  y, one of  x, x+x, x+x+x, ... will be greater than y) : one field 
  39. >that doesn't have that property is the set of quotients of polynomials 
  40. >in one variable, with rational coefficients, where you say that p(x)/q(x)
  41. >is positive if the limit as x goes to infinity is positive. It is not hard
  42.                     
  43. This is incorrect, here I should have written: if p(x)/q(x) eventually becomes
  44. positive. Sorry about that.
  45.  
  46. >to see that this is a densely denumerable non-Archimedean field of char 0.
  47.                               ^^ordered                  
  48. >It looks like an interesting question, IMO to ask what additional hypotheses
  49. >could characterize the structure of Q, or of other fields.
  50.