home *** CD-ROM | disk | FTP | other *** search
/ NetNews Usenet Archive 1992 #23 / NN_1992_23.iso / spool / sci / math / 12913 < prev    next >
Encoding:
Text File  |  1992-10-09  |  3.2 KB  |  61 lines

  1. Newsgroups: sci.math
  2. Path: sparky!uunet!morrow.stanford.edu!CSD-NewsHost.Stanford.EDU!Sunburn.Stanford.EDU!pratt
  3. From: pratt@Sunburn.Stanford.EDU (Vaughan R. Pratt)
  4. Subject: Re: Zeno
  5. Message-ID: <1992Oct8.172550.2253@CSD-NewsHost.Stanford.EDU>
  6. Sender: news@CSD-NewsHost.Stanford.EDU
  7. Organization: Computer Science Department,  Stanford University.
  8. References: <1992Oct8.000340.1@opie.bgsu.edu>
  9. Date: Thu, 8 Oct 1992 17:25:50 GMT
  10. Lines: 49
  11.  
  12. In article <1992Oct8.000340.1@opie.bgsu.edu> bc205cs@opie.bgsu.edu writes:
  13. >Now here is my question:  The rule of the game is that you can only step half
  14. >of the remaining distance on each step.  Well, if you are standing at Point B,
  15. >that implies that you stepped onto point B.  If you stepped _onto_ point B,
  16. >then you broke the rule!  You were only supposed to step _halfway_ to point B. 
  17. >Therefore, Zeno's paradox holds, and the greatest minds are wrong.
  18.  
  19. I like this paradox.  It would appear to among the oldest surviving
  20. instances of common sense conflicting with the logic of infinities and
  21. infinitesimals.  As they say, something's gotta give.
  22.  
  23. To put the paradox in its best light, consider yourself walking slowly
  24. but steadily the mile from A to B at one mile per hour.  Clearly you
  25. reach B one hour after leaving A.  Yet your motion can also be
  26. described as "stepping" halfway from A to B in half an hour, thence
  27. half the remaining distance in quarter of an hour, and so on "for
  28. ever."  At which of those steps did you reach B?  Surely none, so you
  29. can never reach B.
  30.  
  31. Here's one way out of the paradox.  Implicit in your argument is that
  32. you stepped onto point B from a preceding point.  But who says every
  33. step has to have a predecessor?  Certainly the 1st step steps from A,
  34. and so on with the 2nd and 3rd steps.  But how does that prove that
  35. *every* step steps from a particular point?  In fact we can turn the
  36. argument in the paradox around to make it into a simple proof of the
  37. claim that *not every step is from a preceding point*, in particular
  38. the step that lands you on B.
  39.  
  40. So what is the number of the step that lands on B?  Not 666, or 10!!,
  41. or any finite integer.  Rather it is the first infinite integer, better
  42. known as the smallest limit ordinal, namely omega.  If we include for
  43. completeness a fictitious "step 0" landing us at A, then we have two
  44. steps neither having a predecessor, unlike all the steps in between.
  45. Of the two predecessor-less steps, step 0 was not a limit step, not
  46. being the limit of anything, but step omega certainly was the limit of
  47. the process of stepping towards B.  Omega is the first limit ordinal.
  48.  
  49. Future research.  Now that we've reconciled Zeno's two pictures of
  50. travel from A to B, at least for those willing to accept the idea of a
  51. step with an infinite number, how does each picture extend to travel on
  52. beyond B?  The steady-motion picture is fine, but what about the
  53. ordinal picture?  Do we go to higher ordinals, or what?  Or have we
  54. simply stepped out of the frying pan into the fire by replacing one
  55. paradox with another?  Left to the reader.
  56.  
  57. -- 
  58. =================================================== In short, I am floundering
  59. Vaughan Pratt   pratt@cs.Stanford.EDU  415-494-2545 around and don't take what
  60. =================================================== I say seriously.
  61.