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/ NetNews Usenet Archive 1992 #20 / NN_1992_20.iso / spool / sci / math / 11503 < prev    next >
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Internet Message Format  |  1992-09-15  |  2.2 KB

  1. Path: sparky!uunet!sun-barr!olivea!spool.mu.edu!sdd.hp.com!zaphod.mps.ohio-state.edu!think.com!news!columbus
  2. From: columbus@rachmaninoff.think.com (Michael Weiss)
  3. Newsgroups: sci.math
  4. Subject: Re: ZFC etc. (was Re: Report on Philosophies of Physicists)
  5. Message-ID: <COLUMBUS.92Sep15171406@rachmaninoff.think.com>
  6. Date: 16 Sep 92 00:14:06 GMT
  7. References: <716501145.10401@minster.york.ac.uk>
  8.     <1992Sep15.184930.10080@guinness.idbsu.edu>
  9. Organization: Thinking Machines Corporation, Cambridge MA, USA
  10. Lines: 32
  11. NNTP-Posting-Host: rachmaninoff.think.com
  12. In-reply-to: holmes@opal.idbsu.edu's message of 15 Sep 92 18:49:30 GMT
  13.  
  14. In article <1992Sep15.184930.10080@guinness.idbsu.edu>
  15. holmes@opal.idbsu.edu (Randall Holmes) answers the question:
  16.    >
  17.    >Are the proofs by Cohen and Godel are formal proofs? (I would think
  18.    >so.) Can we identify the formal system in which the proofs were
  19.    >performed?
  20.  
  21. thus:
  22.  
  23.    They are rigorous arguments.  No one ever does proofs in formal
  24.    systems, in practice.  The Godel proof is a construction in ZF (normal
  25.    set theory without choice).  The Cohen proof is a construction in ZFC
  26.    (Choice is used, I believe).
  27.  
  28. The relative consistency results of Godel and Cohen can be regarded as
  29. purely combinatorial statements about pushing symbols around,
  30. and as such can be expressed in the language of Peano arithmetic.
  31.  
  32. In principle, the proofs of these relative consistency statements could be
  33. carried out in Peano arithmetic.  Cohen discusses this briefly in the last
  34. chapter of his book "Set Theory and the Continuum Hypothesis".
  35. I believe the treatment in Shoenfield's book "Mathematical Logic" makes the
  36. same point.
  37.  
  38. In practice, the proofs become far more intuitive if we adopt a less
  39. puritan attitude, and talk about models of ZF.  Cohen makes free use of
  40. axiom SM (="there exists a model of ZF whose universe is a set and whose
  41. element-of relation is the standard element-of relation".)  Cohen proves
  42. with ZF+V=L+SM that there is (for example) a model of ZFC + not CH.
  43. Naturally this implies the relative consistency result, Con(ZF) -->
  44. Con(ZFC+not CH).  But if all you want is the relative consistency result,
  45. then a much weaker set of axioms (such as Peano arithmetic) will do.
  46.