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/ NetNews Usenet Archive 1992 #20 / NN_1992_20.iso / spool / sci / math / 11465 < prev    next >
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Text File  |  1992-09-14  |  2.4 KB  |  49 lines
  1. Newsgroups: sci.math
  2. Path: sparky!uunet!mcsun!sunic!sics.se!torkel
  3. From: torkel@sics.se (Torkel Franzen)
  4. Subject: Re: ZFC etc. (was Re: Report on Philosophies of Physicists)
  5. In-Reply-To: cjhs@minster.york.ac.uk's message of 14 Sep 92 20:05:45 GMT
  6. Message-ID: <TORKEL.92Sep15063308@bast.sics.se>
  7. Sender: news@sics.se
  8. Organization: Swedish Institute of Computer Science, Kista
  9. References: <716501145.10401@minster.york.ac.uk>
  10. Date: Tue, 15 Sep 1992 05:33:08 GMT
  11. Lines: 36
  12.  
  13. In article <716501145.10401@minster.york.ac.uk> cjhs@minster.york.ac.uk writes:
  14.  
  15.    >We all know that ZFC is consistent (or maybe just those of us who
  16.    >are sufficiently naive): I want to know why we have this confidence.
  17.    >It just the case that lots of very intelligent people have failed
  18.    >to find an inconsistency? Or are there informal arguments (as there
  19.    >are for Church's thesis) to suggest consistency.
  20.  
  21.   Some people suggest that that there are "statistical" reasons for taking
  22. ZFC to be consistent. That is, no inconsistency has been found in spite
  23. of the theory having been used a lot, so it is reasonable to think that
  24. no inconsistency exists. In my opinion this argument is worthless.
  25.  
  26.   Others hold that we have good grounds for believing the theory to be
  27. consistent, namely that we know or "can imagine" that all the axioms are
  28. true. I belong, more or less, to this category, but I would also want
  29. to emphasize that this argument implies a lot more. Consistency, after all,
  30. isn't all that interesting in itself. For example, the consistency of ZFC
  31. implies that every theorem of ZFC of the form "the Diophantine equation ...
  32. has no solution" is true, but it does not imply that every theorem of
  33. ZFC of the form "the Diophantine equation ... has a solution" is true.
  34. Taking the axioms of ZFC to be true or "possibly true" in the sense here
  35. at issue implies, for one thing, taking every arithmetical consequence of
  36. ZFC to be true.
  37.  
  38.   Yet others are frankly dubious about even the consistency of ZFC. I don't
  39. think there is any compelling argument to convince any of these people that
  40. ZFC is consistent.
  41.  
  42.    >Are the proofs by Cohen and Godel are formal proofs? (I would think
  43.    >so.) Can we identify the formal system in which the proofs were
  44.    >performed?
  45.  
  46.   The proofs you are talking about are as formal as anything in mathematics.
  47. On logical grounds, it is known that the statement "if ZFC is consistent,
  48. CH is undecidable in ZFC" is provable by an elementary combinatorial proof.
  49.