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/ NetNews Usenet Archive 1992 #20 / NN_1992_20.iso / spool / sci / math / 11460 < prev    next >
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Text File  |  1992-09-14  |  3.1 KB  |  60 lines
  1. Newsgroups: sci.math
  2. Path: sparky!uunet!stanford.edu!CSD-NewsHost.Stanford.EDU!Sunburn.Stanford.EDU!pratt
  3. From: pratt@Sunburn.Stanford.EDU (Vaughan R. Pratt)
  4. Subject: Re: Report on Philosophies of Physicists
  5. Message-ID: <1992Sep15.050118.15796@CSD-NewsHost.Stanford.EDU>
  6. Sender: news@CSD-NewsHost.Stanford.EDU
  7. Organization: Computer Science Department,  Stanford University.
  8. References: <1992Sep11.152100.438@guinness.idbsu.edu> <TORKEL.92Sep13094850@bast.sics.se> <1992Sep15.035832.7576@cbnewsm.cb.att.com>
  9. Date: Tue, 15 Sep 1992 05:01:18 GMT
  10. Lines: 48
  11.  
  12. In article <1992Sep15.035832.7576@cbnewsm.cb.att.com> mls@cbnewsm.cb.att.com (mike.siemon) writes:
  13. >    - it is VERY important to "break" students from reliance on the
  14. >      geometry and algebra of their earlier studies as *the* only
  15. >      matter of a generalized "geometrical" reasoning.  There is such
  16. >      a wealth of counter-example to expectations in the basic stuff
  17. >      of a point-set topology course as to open previously closed minds.
  18.  
  19. This familiar assertion about topology should be contrasted with the
  20. following conclusion to the prefatory "Note to the Reader" from
  21. Munkres' "Topology", Prentice-Hall 1975.
  22.  
  23.     Now it is all too easy in studying topology to spend too much
  24.     time dealing with "weird counterexamples."  Constructing them
  25.     requires ingenuity, and is often great fun.  But they are not
  26.     really what topology is all about.  Fortunately, one does not
  27.     need too many such counterexamples for a first course; there is
  28.     a fairly short list which will suffice for most purposes.  Let
  29.     me give it here:
  30.  
  31.     [product, uniform, box topologies on R^n
  32.      R with basis all [a,b)
  33.      the order type S_Omega (better known to logicians as omega_1)
  34.      the lexicographic square]
  35.  
  36. I would add to this perspective that the "weird counterexamples" (at
  37. least the ones I vaguely recall being put through) are for the most
  38. part the *fault* of a set-theoretic perspective.  Topological spaces
  39. and their continuous maps don't form a closed category (one such that
  40. the set of continuous functions from S to T forms a topological space
  41. in the "obvious" way), forcing one to jump around between spaces and
  42. sets when thinking about maps f:SxT->U and fixing a point in S or T.
  43. For ordinary consumers of topological spaces it's healthiest to go
  44. right to compact Hausdorff spaces without messing around with
  45. non-Hausdorff or non-compact counterexamples---not only is CGHaus
  46. closed but very remarkably it is algebraic, i.e. essentially a variety
  47. or equational class, just like groups or lattices, only with operations
  48. at arities of every cardinality.  For those needing the whole of Top
  49. but cleaner, locales are the clean way to go.  (Cleanliness is next to
  50. godliness.  God I hate it when I get religious.)
  51.  
  52. Mathematicians who don't see the connection of their stuff with
  53. foundations are muscle-bound programmers who write large grungy codes
  54. without even being aware there's a problem.
  55.  
  56. -- 
  57. ======================================================| God found the positive
  58. Vaughan Pratt   pratt@cs.Stanford.EDU   415-494-2545  | integers, zero was
  59. ======================================================| there when He arrived.
  60.