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/ NetNews Usenet Archive 1992 #20 / NN_1992_20.iso / spool / sci / math / 11403 < prev    next >
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Text File  |  1992-09-14  |  2.7 KB  |  80 lines
  1. Newsgroups: sci.math
  2. Path: sparky!uunet!munnari.oz.au!manuel!rsphy1.anu.edu.au!rwc124
  3. From: rwc124@rsphy1.anu.edu.au (Roderick Vance)
  4. Subject: Hermetian Matrix Lie Algebra
  5. Message-ID: <1992Sep14.132239.26191@newshost.anu.edu.au>
  6. Sender: news@newshost.anu.edu.au
  7. Reply-To: rwc124@rsphy1.anu.edu.au (Roderick Vance)
  8. Organization: Optical Sciences Centre, Australian National University
  9. Date: Mon, 14 Sep 92 13:22:39 GMT
  10. Lines: 68
  11.  
  12. About a fortnight ago i posted the following question on the net:
  13.  
  14. I begin with a given set H of hermetian matices, whence i form the set
  15. of unitary matrices:
  16.  
  17. U1 = {exp(i h) : h belongs to H}
  18.  
  19. I wanted to find the group generated by members of U1. A kind newsgroup
  20. reader offered me the following advice:
  21.  
  22. "...it is (comparitively) easy to compute the group generated by all
  23. exponentials of a fixed set of Hermitian matrices.  It is the
  24. exponential of the Lie algebra generated by those matrices."
  25.  
  26. Now, having just begun to teach myself Lie algebra&group theory, i'd
  27. be most grateful if someone could comment on whether my following
  28. interpretation of the above advice is right...
  29.  
  30. I take for example, just two hermetian matrices h1 and h2. I find
  31. the Lie bracket
  32.  
  33. [h1,h2] =  h1 h2 - h2 h1 (usual matrix product)
  34.  
  35. to get a third matrix. I add this to my set, form all the Lie brackets
  36. possible and add them to the set and repeat until i have the smallest
  37. set L = {l1,l2,l3,l4,....} that both contains {h1,h2} and has the property
  38. that [x,y] belongs to L whenever both x and y do. Then the group 
  39. generated by {exp(i h1),exp(i h2)} will be:
  40.  
  41. {exp(i (a1 l1 + a2 l2 + ...)): l1,l2,... belong to L, a1, a2 ... are scalars}
  42.  
  43. I'd also LOVE a simple reference/explanation of why this works. Presumably,
  44. such a proof would use the fact that commutators of L's members are
  45. also members of L to show that:
  46.  
  47. exp(i l0) exp(i (a1 l1 + a2 l2 +...)) =
  48. exp(i (a1' l1 + a2' l2 + ...)) for any l0 in L
  49.  
  50. and the required result would then follow by induction. I can't quite seem
  51. to solve it!
  52.  
  53. Sorry to bother the net with non-research forefront questions but i'm sure
  54. someone out there knows Lie theory inside out.
  55.  
  56. Many Thanks In Advance
  57.  
  58. Roderick Vance
  59. Optical Sciences Centre
  60. Australian National University.
  61.  
  62. By the way, the physicists amongst you may be interested to learn that
  63. my problem 
  64. arises in a study of n coupled, single-moded optical waveguides. If
  65. field amplitudes 
  66. [x1,x2,x3,...] drive the inputs then the ouput after distance z will be
  67. U(z) [x1,x2,x3,...] 
  68. , where U(z) is an nxn square matrix fulfilling:
  69.  
  70. (d/dz) U(z) = i K(z) U(z),
  71.  
  72. K is an nxn square matrix of coupling co-efficicents between the guides.
  73. If the system
  74. is lossless, K is hermetian and U is therefore unitary. I am interesed
  75. in what input to
  76. output transfer functions U(z) i can realise with a restricted set of
  77. K.
  78.  
  79.  
  80.