home *** CD-ROM | disk | FTP | other *** search
/ NetNews Usenet Archive 1992 #20 / NN_1992_20.iso / spool / sci / math / 11163 < prev    next >
Encoding:
Internet Message Format  |  1992-09-09  |  2.8 KB
  1. Xref: sparky sci.math:11163 rec.puzzles:6098 comp.theory:1899
  2. Newsgroups: sci.math,rec.puzzles,comp.theory
  3. Path: sparky!uunet!gatech!news.byu.edu!ux1!mica.inel.gov!guinness!opal.idbsu.edu!holmes
  4. From: holmes@opal.idbsu.edu (Randall Holmes)
  5. Subject: Re: more on .999... = 10.0
  6. Message-ID: <1992Sep9.152234.15552@guinness.idbsu.edu>
  7. Sender: usenet@guinness.idbsu.edu (Usenet News mail)
  8. Nntp-Posting-Host: opal
  9. Organization: Boise State University Math Dept.
  10. References: <18dmplINNe0o@matt.ksu.ksu.edu>
  11. Date: Wed, 9 Sep 1992 15:22:34 GMT
  12. Lines: 67
  13.  
  14. In article <18dmplINNe0o@matt.ksu.ksu.edu> kodiak@matt.ksu.ksu.edu (Bryan D. Nehl) writes:
  15. >Sorry for having taken so long to follow up on this subject.
  16. > 
  17. >Proof that 10.0 = 9.9999...
  18. >using algebra:
  19. > 
  20. >        x =  9.999...
  21. >  10x = 99.999...
  22. >10x-x = 99.999... - 9.999...
  23. >   9x = 90.0
  24. >    x = 10
  25. > 
  26. >        10.0 = x = 9.999...
  27. > 
  28. >using geometric series:
  29. > 
  30. >x = 9 + 9/10 + 9/100 + ...
  31. >x = 9/10^0 + 9/10^1 + 9/10^2 + ... + 9/10^n + ...
  32. >x = 9 summation of 1/10^n from n = 0 to +infinity
  33. > 
  34. >this is a geometric series a + ar + ar^2 + ... + ar^n + ...
  35. >a = 9 r = 1/10        
  36. > 
  37. >if -1<r<1 then the series = a/(1-r) 
  38. >        9/(1-1/10) = 9/(9/10) = 9 * 10/9 = 10
  39. >        
  40. >someone emails me using the above algebraic method that 
  41. >999... is equal to -1.
  42. > 
  43. >why is it that 999.... != -1?
  44. > 
  45. >...999 != 1 
  46. >...999 is the series 9 + 9(10) + 9(10)^2 + ... + 9(10)^n + ...
  47. >a = 9, r = 10
  48. >iff -1 < r < 1 then the series converges
  49. >since -1 < 10 !< 1 the series does not converge
  50. >also recall that if the limit as n->+inf Sn != 0 then the summation of Sn
  51. >diverges.
  52. >Sn = 9(10)^n
  53. >
  54. >Bryan
  55. >
  56. >/* === Bryan Nehl ========== kodiak@Kodiakpc.Manhattan.KS.US =========+
  57. >[            USDA-ARS-NPA-WERU          ][ bdn@chepil.weru.ksu.edu    ]
  58. >[     913.532.6233 or 913.532.6495      ][ kodiak@matt.ksu.ksu.edu    ]
  59.  
  60. The point is that the algebraic method is invalid without reference to
  61. issues of convergence.  In the "10-adic numbers", where the sequence
  62. of positive powers of 10 converges to zero and the sequence of
  63. negative powers of 10 does not, it is indeed the case that ...9999.0 =
  64. -1.  The 10-adic numbers are not often considered, as the system
  65. contains divisors of zero, but analogous results hold in the p-adic
  66. numbers, p prime, which do make up a field.
  67.  
  68. 10-adic numbers are represented by decimal expressions which may have
  69. infinitely many digits to the LEFT of the decimal point but must have
  70. finitely many to the RIGHT.  Experiment should convince one that one
  71. can compute with them much as one computes with real numbers.
  72. Division is not always successful.  The idea is that the _positive_
  73. powers of 10 are "small", not the negative ones.
  74.  
  75.  
  76. -- 
  77. The opinions expressed        |     --Sincerely,
  78. above are not the "official"    |     M. Randall Holmes
  79. opinions of any person        |     Math. Dept., Boise State Univ.
  80. or institution.            |     holmes@opal.idbsu.edu
  81.