home *** CD-ROM | disk | FTP | other *** search
/ NetNews Usenet Archive 1992 #20 / NN_1992_20.iso / spool / sci / math / 11065 < prev    next >
Encoding:
Text File  |  1992-09-08  |  2.2 KB  |  49 lines
  1. Newsgroups: sci.math
  2. Path: sparky!uunet!pipex!warwick!pavo.csi.cam.ac.uk!gjm11
  3. From: gjm11@cus.cam.ac.uk (G.J. McCaughan)
  4. Subject: Re: SL(2,Z) fundamental domain
  5. Message-ID: <1992Sep6.230603.1395@infodev.cam.ac.uk>
  6. Sender: news@infodev.cam.ac.uk (USENET news)
  7. Nntp-Posting-Host: bootes.cus.cam.ac.uk
  8. Organization: U of Cambridge, England
  9. References: <1992Sep06.165238.20128@rz.uni-jena.de>
  10. Date: Sun, 6 Sep 1992 23:06:03 GMT
  11. Lines: 36
  12.  
  13. It's asked: What semicircles (radius and centre) are there in the
  14. usual tesselation of the upper half-plane by copies of the standard
  15. fundamental region for SL(2,Z)?
  16. Well, every such semicircle is the image under an element of SL(2,Z)
  17. of Re(z)=0; in other words, of z+z*=0 (where z* is the conjugate of z).
  18. So we get everything of the form (az+b)/(cz+d) + (az*+b)/(cz*+d) = 0,
  19. which is to say, errm, (az+b)(cz*+d) + (cz+d)(az*+b) = 0,
  20. i.e. ac.zz* + (ad+bc)Re(z) + bd = 0,
  21. i.e. x^2+y^2 + (ad+bc)/ac.x + bd/ac = 0,
  22. i.e. (x-(ad+bc)/2ac)^2 + y^2 = (ad+bc)^2/4(ac)^2 - bd/ac
  23. except that I've probably made a mistake by now. (Um, when ac=0 we get
  24. a vertical line. This is a boring case.)
  25. So, the possible radii are those of the form
  26.   root[ ((ad+bc)/2ac)^2 - bd/ac ]
  27. and the centres are those of the form
  28.   (ad+bc)/2ac;
  29. and <centre,radius> can occur if there are a,b,c,d with ad-bc=1 giving
  30. that pair.
  31. Determining what radii can occur for given centre is the same as
  32. determining what bd/ac can be, given (ad+bc)/2ac.
  33. ... Oh, I've just noticed that the radius is equal to
  34.   (ad-bc)/2ac, give or take a change of sign. In other words, 1/(2ac).
  35. So all radii are of the form 1/q, and then the centre is p/q for some
  36. integer q. And q must be even.
  37. Can all these occur? In other words, given ac, can ad+bc be anything
  38. we like? Well, since ad-bc=1 this is the same as: given ac, can ad be
  39. anything we like? Can we solve ac=x,ad=y?
  40. Well, let's think. We have (x,y)=(ac,ad)=a(c,d)=a. So we know what
  41. a has to be. Then we know also what c,d have to be. Now there will
  42. be an appropriate b iff ad == 1 mod c; in other words, if y==1
  43. mod x/(x,y).
  44. What are x,y in the present context? 2x=q; 2y-1=p. So we need
  45. (p+1)/2 == 1 mod (q/2)/(q/2,(p+1)/2)
  46. i.e. mod q/(p+1,q). Weird. I probably really have made a mistake
  47. by this point, so I'll now leave it up to those of you with pencil
  48. -- 
  49.