home *** CD-ROM | disk | FTP | other *** search
/ NetNews Usenet Archive 1992 #19 / NN_1992_19.iso / spool / sci / math / stat / 1772 < prev    next >
Encoding:
Internet Message Format  |  1992-08-30  |  3.7 KB
  1. Path: sparky!uunet!math.fu-berlin.de!news.netmbx.de!Germany.EU.net!mcsun!sun4nl!cwi.nl!adrianb
  2. From: adrianb@cwi.nl (Adrian Baddeley)
  3. Newsgroups: sci.math.stat
  4. Subject: Re: Spatial Statistics Problem.
  5. Message-ID: <7184@charon.cwi.nl>
  6. Date: 30 Aug 92 14:42:37 GMT
  7. References: <cbc.714687996@milton>
  8. Sender: news@cwi.nl
  9. Lines: 99
  10.  
  11. cbc@milton.u.washington.edu (Charles Cook) writes:
  12.  
  13. >I'm interested in knowing the distance between random points on a plane.  
  14.     ...
  15. >.. to reach every point, we are going to start down our 'swath' in the y 
  16. >direction, touching every point as we reach it in y.  (traveling from
  17. >the last point directly to the next.)  
  18.  
  19.     If I understand it, you have a point process in the
  20.     'swath' S = [0,X] x [-infty,+infty], and you are considering
  21.     the distance between a given point in the process, (x*,y*),
  22.     and the next lowest point, defined as that 
  23.     point of the process with the largest y coordinate subject
  24.     to y < y*. 
  25.  
  26. >Now, ideally, the points are 
  27. >uniformily distributed over the whole plane, but for this simplification
  28. >I've assumed a uniform distribution in x and a poisson distribution in
  29. >y.  
  30.  
  31.     So you assume a Poisson process on S with 
  32.     homogeneous intensity Td. 
  33.  
  34.     Given that there is a point at (x*,y*), the rest of the process is just 
  35.     a Poisson process with intensity Td again. (Slivnyak's theorem).
  36.  
  37.     So the successive y coordinates form a 1-dimensional Poisson process
  38.     with intensity Td*X, and the corresponding x coordinates are 
  39.     i.i.d. uniform on [0,X].
  40.  
  41.     So the distance from (x*,y*) to the next lowest point is
  42.  
  43.         D = sqrt( (x - x*)^2 + e^2)        (1)
  44.  
  45.     where e = y*-y has an exponential (Td*X) distribution,
  46.     and x is uniform on [0,X] independently of e. 
  47.     
  48.     
  49. > The problem that I've run into is I can't solve the resulting integral:
  50.  
  51. >                    / infinity  / X-xo
  52. >E(D) =  1/(X^2*Td)  |           |       exp(-y/Td*X) * Sqrt(x^2 +y^2) dx dy
  53. >                   /  0        /  -xo
  54.  
  55. >Where E(D) is the expectation value of the distance from the point you're 
  56. >at (xo,0) to the next point.
  57.  
  58.     OK; this is the expectation of (1) above.
  59.  
  60.     But now you're going to step from point to point in this fashion
  61.     effectively running a Markov chain where you incur 
  62.     a random cost D for each step. The x coordinates of the successive 
  63.     points are i.i.d. uniform so the average cost **per step** is 
  64.     the expectation of (1) when both x and x* are uniform [0,X].
  65.     [Warning: The average cost *per unit height of strip* is this quantity
  66.     divided by the mean height of each step, viz 1/(Td*X).]
  67.  
  68.     It seems to me that you want to evaluate
  69.  
  70.         E*(D) = E sqrt((u-v)^2 + e^2)        (2)
  71.  
  72.     where u,v are i.i.d. uniform [0,X] and e is exponential (Td * X).
  73.  
  74.     The second moment is easy :-)
  75.  
  76.     The density of (u-v) is f(w) = 8/(X^2) min(x, X-x) so we get
  77.  
  78.                   /infty /(X/2)
  79.     E*(D) = 2(8/X^2) (1/Td*X) |      |  exp(-y/Td*X).w.sqrt(w^2+y^2) dw dy
  80.                   /0    /0
  81.  
  82.  
  83. >My eventual goal is to have a closed form solution for this expectation 
  84. >value dependent on X and Td.  From this I can find the optimal value for X
  85. >to minimize the distance to touch every point.
  86.  
  87.     A remark: by scaling properties of the Poisson process,
  88.  
  89.         r(Td/a , a* X) = a * r(Td, X)
  90.  
  91.     where r(Td,X) denotes the value of (2) for parameter values Td, X.
  92.     So 
  93.         r(Td, X) = (1/Td) * r(1, X * Td)
  94.  
  95.     So you only need to consider the case of a unit rate Poisson process.
  96.  
  97.  
  98.     That's all I can think of right now. 
  99.  
  100.     Related literature: R. Coleman (1972) Sampling procedures for the
  101.     lengths of random straight lines. Biometrika 59 (1972) 415-426.
  102.  
  103.  
  104.  
  105. -- 
  106. ===========   "Honk if you use the Axiom of Choice"   ===============
  107. Adrian Baddeley                    :    adrianb@cwi.nl
  108. Centre for Mathematics & Computer Science     : tel +31 20 592 4050
  109. Kruislaan 413, 1098 SJ Amsterdam, Netherlands.    : fax +31 20 592 4199
  110.