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/ NetNews Usenet Archive 1992 #19 / NN_1992_19.iso / spool / sci / math / research / 433 < prev    next >
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Text File  |  1992-08-31  |  1.9 KB  |  56 lines
  1. Newsgroups: sci.math.research
  2. Path: sparky!uunet!elroy.jpl.nasa.gov!sdd.hp.com!ux1.cso.uiuc.edu!news.cso.uiuc.edu!usenet
  3. From: israel@unixg.ubc.ca (Robert B. Israel)
  4. Subject: Re: convex functions on L_1 spaces
  5. References: <fernand.715217944@acf9>
  6. Nntp-Posting-Host: unixg.ubc.ca
  7. Message-ID: <israel.715280419@unixg.ubc.ca>
  8. Sender: Daniel Grayson <dan@math.uiuc.edu>
  9. X-Submissions-To: sci-math-research@uiuc.edu
  10. Organization: University of British Columbia, Vancouver, B.C., Canada
  11. X-Administrivia-To: sci-math-research-request@uiuc.edu
  12. Approved: Daniel Grayson <dan@math.uiuc.edu>
  13. Date: Mon, 31 Aug 1992 17:00:19 GMT
  14. Keywords: convex, L_1
  15. Lines: 39
  16.  
  17. In <fernand.715217944@acf9> Indrajit, using the account of 
  18.    fernand@acf9.nyu.edu (Chris Fernandes) writes:
  19.  
  20. >I have a question regarding convex functions on L_1 spaces.
  21.  
  22. >Consider the space L_1.
  23. >Let U: L_1->R  be a strictly convex function.
  24. >Let G be a closed convex and bounded set in L_1.
  25.  
  26. >Is it then true that the function U achieves its minimum on the set G?
  27.  
  28. Not true in l_1: let G = { x: x_i >= 0, sum_i x_i = 1 } and U(x) = sum_i x_i^2.
  29. The infimum is 0 (consider U(x) where x_i = 1/n for 1 <= i <= n, 0
  30. otherwise), but it is not achieved.  I don't have an example for other
  31. L_1 spaces, but it probably wouldn't be hard to construct.
  32.  
  33. >I have not been able to find this result in any reference book.  Intuitively,
  34. > the result seems to be true, but I cannot come up with a clean proof.
  35.  
  36. >I do know that the set G is compact in the weak* topology, but on L_1
  37. >the weak* and the weak do not coincide.
  38.  
  39. What weak* topology?  L_1 spaces (except for l_1) are generally not dual
  40. spaces.
  41.  
  42. >  For example, in L_2, the set
  43. >is weakly compact and thus the minimum is achieved.
  44.  
  45. >Hopefully  yours,
  46.  
  47. >Indrajit, mailing from friend's account.
  48.  
  49. -- 
  50. Robert Israel                            israel@math.ubc.ca
  51. Department of Mathematics             or israel@unixg.ubc.ca
  52. University of British Columbia
  53. Vancouver, BC, Canada V6T 1Y4
  54.  
  55.  
  56.