home *** CD-ROM | disk | FTP | other *** search
/ NetNews Usenet Archive 1992 #19 / NN_1992_19.iso / spool / sci / math / 10967 < prev    next >
Encoding:
Internet Message Format  |  1992-09-03  |  2.1 KB
  1. From: ric@hpspdla.spd.HP.COM (Ric Peregrino)
  2. Date: Thu, 3 Sep 1992 19:26:29 GMT
  3. Subject: asymmetric metric?
  4. Message-ID: <13390030@hpspdla.spd.HP.COM>
  5. Organization: HP Stanford Park - Palo Alto, CA
  6. Path: sparky!uunet!usc!elroy.jpl.nasa.gov!sdd.hp.com!scd.hp.com!hplextra!hpl-opus!hpspdla!ric
  7. Newsgroups: sci.math
  8. Lines: 51
  9.  
  10.  
  11. Hello sci.math
  12.  
  13. I've been doing some self assigned homework. I was investigating
  14. the effect of a general 2nd order covariant metric on covariant
  15. differentiation. Normally, the metric is considered symmetrical.
  16. I'll post only the result and ask the net for it's wisdom concerning
  17. it's correctness, etc.
  18.  
  19.                       2       i  j
  20. Given the invariant ds = g  dx dy 
  21.                           ij
  22.  
  23. for arbitrary dx and dy, one concludes the tensor character of g.
  24.  
  25. Write g in it's symmetric and asymmetric components
  26.  
  27.   g   = s   + t    , s   = s    , t   = -t
  28.    ij    ij    ij     ij    ji     ij     ji
  29.  
  30.         ij        j
  31. Define s   s   = d  , where d = 1 if j=k, else d = 0.
  32.             ik    k
  33.  
  34. The result for the covariant derivative of a contravariant vector A is
  35.  
  36.    i     i  j    p ai     r
  37.   A  = dA/dx  + A s  g  {pj}  , where d denotes partial differentiation
  38.    ,j                 ar
  39.  
  40. and the {} term is the Christoffel symbol of the second kind. This reduces
  41. to the expected equations if g is symmetric.
  42.  
  43. One place I can think of that an asymmetric metric makes a difference is
  44. in the case of complex dx and dy. Here one gets for two dimensions with
  45. the definitions
  46.    
  47.     2         i *  j
  48.   ds  = g  (dx ) dy , dx = [a+jb,c+jd] = dy
  49.          ij
  50.  
  51.   ds^2= g11(a^2 + b^2) +g22(c^2 + d^2) +(ac + bd)(2s12) +j(ad - bd)(2t12)
  52.  
  53. So an imaginary asymmetric part of g (t12) leads to a modified line element
  54. for complex contravariant differentials which is still real. Any comments?
  55.  
  56. --------------------------------------------------------------------------
  57. Ric Peregrino     c/o Hewlett Packard Co.        I represent only myself
  58. ric@spd.hp.com    1501 Page Mill Rd. Bldg. 5M    I may be wrong, maybe not
  59. 415-857-7526      Palo Alto, CA 94304            Do DC photons exist?
  60. --------------------------------------------------------------------------
  61.