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/ NetNews Usenet Archive 1992 #19 / NN_1992_19.iso / spool / sci / math / 10906 < prev    next >
Encoding:
Internet Message Format  |  1992-09-02  |  2.3 KB
  1. Path: sparky!uunet!mcsun!corton!geocub!loeb
  2. From: loeb@greco-prog.fr (Daniel LOEB)
  3. Newsgroups: sci.math
  4. Subject: Summer Problems
  5. Message-ID: <1992Sep2.104741.12452@greco-prog.fr>
  6. Date: 2 Sep 92 10:47:41 GMT
  7. Organization: GRECO Programmation du CNRS - Bordeaux,France
  8. Lines: 56
  9.  
  10. I think the first version of this posting got lost, so I am trying
  11. again.
  12.  
  13. Last July, I ran a summer math camp here in Bordeaux. Some of my
  14. students came up with some pretty interesting problems. Here is a
  15. sample of them along with the results that they got.
  16.  
  17. (DMITRI) - A door has a very strange lock. It contains n holes
  18. arranged in a regular polygon. There are buttons at the bottom of the
  19. holes. When all buttons are up or all down, the door opens. Buttons
  20. can only be examined or changed by sticking your arms in the holes.
  21. When your arms are removed from the holes, the lock spins very quickly
  22. and then stops at an unknown point. How many hands h(n) must you have
  23. in order to be SURE to open the doors after a finite number of
  24. manipulations. 
  25. Partial results: if p is prime, then h(p)=p-1. Otherwise, h(4)=2 and
  26. h(1)=0.
  27. Is there a general rule? Generalizations?
  28.  
  29. (VINCENT) - 100 points are arranged in a 1m square. In the worst case,
  30. how long is the shortest path connecting them all.
  31. Partial result: Between 11 and 21 meters.
  32. Can an exact result be found?
  33.  
  34. (STEPHANE) - 2 congruent rectangles intersect in exactly 8 points, how
  35. small can their interection be?
  36. Partial result: Over half the area of the rectangle.
  37. Can you find a tighter bound, or a series of examples approaching 1/2
  38. the area?
  39.  
  40. And here is an open problem from me (DANNY): 
  41. A voting scheme for a set of n voters is a collection of winning
  42. coallitions such that all supersets of a winning coallition is still a
  43. winning coallition, and given any set of voters either it or its
  44. compliment is a winning coallition.
  45. The number of voting schemes is given by 
  46. c(0)=0, c(1)=1, c(2)=2, c(3)=4=2^2, c(4)=12=2^3*3, c(5)=81=3^4,
  47. c(6)=2646=2*3^2*7^2, c(7)=1422564=2^2*3*11*13*829.
  48. Is there an easy way to calculate these numbers?
  49.  
  50. Send me your problems, comments, or answers and I'll reply and/or
  51. forward them to my students.
  52.  
  53. Thanks.
  54.  
  55.   
  56.  
  57.  
  58.  
  59.  
  60.   
  61. -- 
  62.  
  63. Yours, Daniel Loeb                loeb@geocub.greco-prog.fr
  64. HOME     150, cours Victor-Hugo; Appt D45; 33000 Bordeaux France
  65. WORK    LABRI; Universite de Bordeaux I; 33405 Talence Cedex France
  66.