home *** CD-ROM | disk | FTP | other *** search
/ NetNews Usenet Archive 1992 #19 / NN_1992_19.iso / spool / sci / math / 10663 < prev    next >
Encoding:
Internet Message Format  |  1992-08-29  |  4.3 KB
  1. Path: sparky!uunet!cs.utexas.edu!sun-barr!ames!purdue!mentor.cc.purdue.edu!noose.ecn.purdue.edu!samsung!balrog!web.ctron.com!wilson
  2. From: wilson@web.ctron.com (David Wilson)
  3. Newsgroups: sci.math
  4. Subject: Re: Parallel axiom.
  5. Message-ID: <4891@balrog.ctron.com>
  6. Date: 28 Aug 92 13:39:49 GMT
  7. Sender: usenet@balrog.ctron.com
  8. Reply-To: wilson@web.ctron.com (David Wilson)
  9. Organization: Cabletron Systems INc.
  10. Lines: 105
  11.  
  12.  
  13.  
  14.     The book "The Foundations of Geometry and the Non-Euclidean Plane"
  15.     by George E. Martin lists the following 26 equivalents to the
  16.     Parallel Postulate within absolute geometry:
  17.  
  18.     Proposition A.  Euclid's Parallel Postulate: If A and D are points
  19.     on the same side of segment(BC) such that measure(angle(ABC)) +
  20.     measure(angle(BCD)) < pi, then ray(BA) intersects ray(CD).
  21.  
  22.     Proposition B.  Euclid's Proposition I.29: If A and D are points on
  23.     the same side of line(BC) and line(BA) || line(CD), then
  24.     measure(angle(ABC)) + measure(angle(BCD)) = pi.
  25.  
  26.     Proposition C.  Euclid's Proposition I.30: l || m and m || n
  27.     implies l || n for lines l, m, n.  (Lines parallel to a given
  28.     line are parallel.)
  29.  
  30.     Proposition D.  Contrapositive to Euclid's Proposition I.30: A
  31.     third line intersecting one of two parallel lines intersects
  32.     the other.
  33.  
  34.     Proposition E.  Euclid's Proposition I.31, Playfair's Parallel
  35.     Postulate:  If a point P is off line l, then there exists a
  36.     unique line through P parallel to l.
  37.  
  38.     Proposition F.  A line perpendicular to one of two parallel lines
  39.     is perpendicular to the other.
  40.  
  41.     Proposition G.  l || m, r is perpendicular to l, and s is
  42.     perpendicular to m implies r || s for lines l, m, r, s.
  43.  
  44.     Proposition H.  The perpendicular bisectors of the sides of a
  45.     triangle are concurrent.
  46.  
  47.     Proposition I.  There exists a circle passing through any three
  48.     noncollinear points.
  49.  
  50.     Proposition J.  There exists a point equidistant from any three
  51.     noncollinear points.
  52.  
  53.     Proposition K.  A line intersecting and perpendicular to one ray of
  54.     an acute angle intersects the other ray.
  55.  
  56.     Proposition L.  Through any point in the interior of an angle there
  57.     exists a line intersecting both rays of the angle not at the
  58.     vertex.
  59.  
  60.     Proposition M.  Euclid's Proposition I.32:  The sum of the measures
  61.     of the angles of any triangle is pi.  The measure of an exterior
  62.     angle of a triangle is equal to the sum of the measures of the
  63.     remote interior angles.
  64.  
  65.     Proposition N.  Theorem of Thales:  If point C is off segment(AB),
  66.     but on the circle with diameter segment(AB), then angle(ABC) is
  67.     right.
  68.  
  69.     Proposition O.  If angle(ABC) is right, then C is on the circle with
  70.     diameter segment(AB)>
  71.  
  72.     Proposition P.  The perpendicular bisectors of the legs of a right
  73.     triangle intersect.
  74.  
  75.     Proposition Q.  l is perpendicular to r, r is perpendicular to s, and
  76.     s is perpendicular to m implies l intersects m for all l, m, r, s.
  77.  
  78.     Proposition R.  There exists an acute angle such that every line
  79.     intersecting and perpendicular to one ray of the angle intersects
  80.     the other ray.
  81.  
  82.     Proposition S.  There exists an acute angle such that every point
  83.     in the interior of the angle is on a line intersecting both
  84.     rays of the angle.
  85.  
  86.     Proposition T.  There exists one triangle such that the sum of the
  87.     measures of its angles is pi.
  88.  
  89.     Proposition U.  There exists one triangle with defect 0.  [The defect
  90.     of a triangle is pi less the sum of the measures of the angles of
  91.     the triangle.  This is a restatement of Proposition T].
  92.  
  93.     Propositoin V.  Saccheri's Hypothesis of the Right Angle:  There
  94.     exists a rectangle.  [The Hypothesis of the Acute (Obtuse) Angle:
  95.     There exists a quarilateral with two adjacent right angles and
  96.     two adjacent acute (obtuse) angles.  These apply to the hyperbolic
  97.     and elliptic planes, respectively.]
  98.  
  99.     Proposition W.  There exist two lines l and m such that l is
  100.     equidistant from m [all points of l are at a constant positive
  101.     distance from m].
  102.  
  103.     Proposition X.  If three angles of a quadrilateral are right, then
  104.     so is the fourth.
  105.  
  106.     Proposition Y.  There is some line l and some point P off l such that
  107.     a unique line parallel to l passes through P.
  108.  
  109.     Proposition Z.  There exist a pair of similar noncongruent triangles.
  110.  
  111.  
  112. -- 
  113. David W. Wilson (wilson@ctron.com)
  114.  
  115. Disclaimer: "Truth is just truth...You can't have opinions about truth."
  116. - Peter Schikele, introduction to P.D.Q. Bach's oratorio "The Seasonings."
  117.