home *** CD-ROM | disk | FTP | other *** search
/ NetNews Usenet Archive 1992 #19 / NN_1992_19.iso / spool / sci / math / 10636 < prev    next >
Encoding:
Text File  |  1992-08-27  |  1.5 KB  |  42 lines
  1. Newsgroups: sci.math
  2. Path: sparky!uunet!mcsun!sunic!ugle.unit.no!levangerhs.no!ap
  3. From: ap@levangerhs.no (Andrei Prasolov)
  4. Subject: Elementary solution needed: harmonic bi-sequences
  5. Message-ID: <1992Aug27.170048.26459@ugle.unit.no>
  6. Sender: news@ugle.unit.no (NetNews Administrator)
  7. Organization: Hogskolen i Levanger
  8. Date: Thu, 27 Aug 92 17:00:48 GMT
  9. Lines: 31
  10.  
  11.    There is a problem which seems to have a very simple solution.
  12. I remember that I heard one in my youth. That solution used
  13. the epsilon-delta language only. However, I cannot recall that.
  14.  
  15. DEF. Let`s call a bi-sequence (a(i,j), i,j from Z) HARMONIC if for all i,j
  16.  
  17. (*)       a(i,j) = 1/4 (a(i,j+1) + a(i,j-1) + a(i+1,j) + a(i-1,j)).
  18.  
  19. PROBLEM. Prove that any bounded (|a(i,j)| < C) harmonic bi-sequence is constant.
  20.  
  21.    I know the proof which uses Fourier-transform of generalized functions
  22. (distributions):
  23.  
  24. Let f(x,y) = Sum_i,j(delta(x-i,y-j)).
  25. Than f is a generalized function of polynomial (of degree zero) growth,
  26. so its Fourier-transform F(x,y) has also polynomial growth and is 2pi periodical.
  27. (*) becomes:
  28.  
  29. (**)   (2cos(x) + 2cos(y) - 4) F(x,y) = 0.
  30.  
  31. It follows that F(x,y)=0 unless x=2k pi and y=2l pi, k, l from Z. So F, being
  32. periodical, can be represented by
  33.  
  34.      F(x,y) = Sum_i,j(ksi(x - 2 i pi, y - 2 j pi))
  35.  
  36. where ksi is a finite sum of delta-function and its derivatives,
  37. therefore a(i,j) is a polynomial of i,j and, being bounded, is constant.
  38.  
  39. DOES ANYBODY KNOW AN ELEMENTARY PROOF?
  40.  
  41. Thanks in advance. 
  42.