home *** CD-ROM | disk | FTP | other *** search
/ NetNews Usenet Archive 1992 #19 / NN_1992_19.iso / spool / sci / math / 10626 < prev    next >
Encoding:
Text File  |  1992-08-27  |  2.9 KB  |  75 lines
  1. Newsgroups: sci.math
  2. Path: sparky!uunet!newsgate.watson.ibm.com!yktnews!admin!yktnews!victor
  3. From: victor@watson.ibm.com (Victor Miller)
  4. Subject: Re: not unique factorization
  5. Sender: news@watson.ibm.com (NNTP News Poster)
  6. Message-ID: <VICTOR.92Aug27111142@terse4.watson.ibm.com>
  7. In-Reply-To: rose@fsu1.cc.fsu.edu's message of 26 AUG 92 23:10:07    
  8. Date: Thu, 27 Aug 1992 15:11:42 GMT
  9. Reply-To: victor@watson.ibm.com
  10. Disclaimer: This posting represents the poster's views, not necessarily those of IBM
  11. References: <1992Aug27.032241.21816@mailer.cc.fsu.edu>
  12. Nntp-Posting-Host: terse4.watson.ibm.com
  13. Organization: IBM, T.J. Watson Research Center
  14. Lines: 59
  15.  
  16. >>>>> On 26 AUG 92 23:10:07    , rose@fsu1.cc.fsu.edu (Kermit Rose) said:
  17.  
  18. Kermit> Hello anyone.
  19.  
  20. Kermit> I had read that the integers extended by the sqrt(-5) did not
  21. Kermit> have unique factorization into primes.  The example was given
  22.  
  23. Kermit> 6 = 2 * 3 = (1+sqrt(-5)) * (1 - sqrt(-5))
  24.  
  25. Kermit> I considered whether or not this ring could be fixed up by additional 
  26. Kermit> extension.   Perhaps in a larger ring we could have
  27.  
  28. Kermit> 6 = a * b * c * d where
  29.  
  30. Kermit> a * b = 2
  31. Kermit> c * d = 3
  32. Kermit> a * c = 1 + sqrt(-5)       and
  33. Kermit> b * d = 1 - sqrt(-5).
  34.  
  35. Kermit> This gives  
  36.  
  37. Kermit> b = 2/a
  38.  
  39. Kermit> c = (1 + sqrt(-5))/a
  40.  
  41. Kermit> d = (1 - sqrt(-5))/b = (1 - sqrt(-5)) * (a/2)
  42.  
  43. Kermit> One way to have a,b,c,d to be elements of the ring is to
  44. Kermit> define a = 1/2 to be an element of the ring.  Then all powers
  45. Kermit> of 2 becomes units, and the factorization 6 = 2 * 3 does not
  46. Kermit> count since 2 is not prime.
  47.  
  48. Kermit> Now for my question.  Does this fix solve all the cases of non-unique 
  49. Kermit> factorization in the ring of integers extended by sqrt(-5)?
  50.  
  51. Kermit, You are correct about this.  There are basically two ways to
  52. fix this up: 1) Localize at a finite set of primes, which generate the
  53. ideal class group (this is a group which measures in a precise way how
  54. unique factorization fails).  In your case of sqrt(-5), the ideal
  55. class group is of order two and generated by the prime 2.  So you have
  56. done exactly that.  2) Go to an extension field: the Hilbert class
  57. field has the property that every ideal downstairs, "capitulates":
  58. i.e. becomes principal.
  59.  
  60. As an intersting aside, fields with class number 2 (one of which is
  61. given by your example), are characterized by the property that they
  62. don't have unique factorization, but that every factorization into
  63. prime ideals has the same NUMBER of factors.
  64.  
  65. Kermit> rose@fsu1.cc.fsu.edu          To be sure I see your response, use e-mail.
  66. Kermit> -----------------------------------------------------------------------
  67. Kermit> You may post, repost, or publish ANY communication received from me.
  68. Kermit> To mend an undesirable barrier is to destroy the barrier.
  69. --
  70.         Victor S. Miller
  71.         Bitnet: VICTOR at WATSON
  72.         Internet: victor@watson.ibm.com
  73.         IBM, TJ Watson Research Center
  74.         "Great artists steal; lesser artists borrow" Igor Stravinsky
  75.