home *** CD-ROM | disk | FTP | other *** search
/ NetNews Usenet Archive 1992 #19 / NN_1992_19.iso / spool / sci / logic / 1316 < prev    next >
Encoding:
Internet Message Format  |  1992-08-27  |  2.1 KB
  1. Path: sparky!uunet!stanford.edu!agate!math.berkeley.edu!solovay
  2. From: solovay@math.berkeley.edu (Robert M. Solovay)
  3. Newsgroups: sci.logic
  4. Subject: Re: ZFC+~Con(ZFC)
  5. Date: 27 Aug 1992 21:06:11 GMT
  6. Organization: U.C. Berkeley Math. Department.
  7. Lines: 43
  8. Message-ID: <17jg43INNpjs@agate.berkeley.edu>
  9. References: <7160@charon.cwi.nl> <1992Aug20.171630.18667@ariel.ec.usf.edu> <1992Aug27.154627.3228@usenet.ins.cwru.edu>
  10. NNTP-Posting-Host: math.berkeley.edu
  11.  
  12.  
  13. >>In article <1992Aug20.171630.18667@ariel.ec.usf.edu> Gregory McColm,
  14. >>mccolm@darwin.math.usf.edu. writes:
  15. >>>The standard (ie, wellfounded) models all satisfy Con(ZFC)
  16. >>
  17. >>Can someone clarify for me the term "standard model"?  Is this a concept
  18. >>with a formal definition, or is a "standard model" of a theory, simply a
  19. >>model which satisfies the intuitions which inspired the axioms of the
  20. >>theory?
  21. >>
  22. >>
  23. >
  24. >    I do not know what all "standard" might mean, but in a lot of
  25. >contexts including this one it means "not non-standard" where "non-
  26. >standard" is used as in "non-standard analysis".  In short, a model is
  27. >"standard" in this sense if all the sets it takes to be finite are
  28. >actually finite.
  29. >
  30.  
  31.     The usual terminology in set-theory is as follows. A model is
  32. standard if it is a transitive set (i.e. every member of it is a
  33. subset of it) and it's epsilon relation is just the restriction of the
  34. usual epsilon relation.
  35.  
  36.     By the Mostowski collapse theorem, a model of ZFC is
  37. isomorphic to a standard model iff its ordinals are well-ordered.
  38.  
  39.     A model of ZFC is "correct for finiteness" iff it has no
  40. non-standard integers. Such models are precisely those which are
  41. isomorphic to models whose integers are literally the usual integers.
  42. Models of this latter type are known as omega models.
  43.  
  44.     Every standard model of ZFC is an omega model. If there is an
  45. inaccessible cardinal, then
  46.  
  47. (a) there is a countable standard model of ZFC.
  48.  
  49. (b) there is an omega model of ZFC whose ordinals are not [externally]
  50. well-ordered. 
  51.  
  52.     I haven't bothered to track down references for this (it's all
  53. standard stuff) but I suspect this material is somewhere in Kunen or
  54. Jech's opuses on set-theory.
  55.