home *** CD-ROM | disk | FTP | other *** search
/ NetNews Usenet Archive 1992 #19 / NN_1992_19.iso / spool / comp / graphics / visualiz / 1258 < prev    next >
Encoding:
Text File  |  1992-08-27  |  2.5 KB  |  65 lines
  1. Newsgroups: comp.graphics.visualization
  2. Path: sparky!uunet!caen!med.umich.edu!spencer
  3. From: spencer@med.umich.edu (Spencer W. Thomas)
  4. Subject: Re: Curvature of a Surface
  5. In-Reply-To: srinivas@lgc.com's message of Thu, 27 Aug 1992 05:45:17 GMT
  6. Message-ID: <SPENCER.92Aug27135113@guraldi.med.umich.edu>
  7. Followup-To: comp.graphics.visualization
  8. Sender: news@med.umich.edu
  9. Organization: University of Michigan
  10. References: <1992Aug27.054517.4151@lgc.com>
  11. Date: Thu, 27 Aug 1992 18:51:13 GMT
  12. Lines: 51
  13.  
  14. There is no single number that is the "curvature" of a curface.
  15. Directional curvature is defined as the curvature along a particular
  16. tangent direction, and is the curvature of the curve of intersection
  17. between a plane perpendicular to the surface at the point.  The
  18. minimum and maximum values of the directional curvature occur along
  19. perpendicular directions and are called the principal curvatures.  The
  20. Gaussian curvature is the product of the principal curvatures.  It is
  21. positive for "sphere-like" points, negative at "saddle" points, and
  22. zero for ruled surfaces.  The mean curvature is the average of the
  23. principal curvatures.
  24.  
  25. To compute the curvature tensor (from which the others may be
  26. derived),
  27.  
  28. Note: below, i,j,k are in the set {1,2} and denote the two parameters of
  29. the surface u1 and u2.  I.e., S(u1,u2) = (x(u1,u2), y(u1,u2), z(u1,u2)).
  30.  
  31. Capital letters are vector valued, lowercase are scalar (except g, g',
  32. L and C, which are matrices, while gij, etc. are elements of those
  33. matrices.)
  34.  
  35. 1. Compute basic tangent vectors Xi = dS/dui
  36.  
  37. 2. Compute metric coefficients gij = Xi . Xj (dot product)
  38.  
  39. 3. Compute inverse metric coefficients g'ij = matrix inverse of gij
  40.  
  41. 4. Compute normal vector N = Xi * Xj (cross product)
  42.  
  43. 5. Compute derivatives of basic tangent vectors Xij = (d^2)S/(duj dui)
  44.     i.e., Xij = dXi/duj
  45.  
  46. 6. Compute coefficients of the second fundamental form 
  47.     Lij = Xij . N
  48.  
  49. 7. Compute components of curvature tensor Cij = sum(k)(Lki g'kj)
  50.  
  51. The Gaussian curvature is the determinant of the matrix C.  The mean
  52. curvature is 1/2 trace(C).  The principal curvatures (c1, c2) are the
  53. eigenvalues of C, and the principal directions are the corresponding
  54. eigenvectors. If X(1) is the first principal direction, corresponding
  55. to the curvature c1, then the directional curvature in the direction Y
  56. is c1 cos^2(theta) + c2 sin^2(theta), where theta is the angle between
  57. Y and X(1).
  58.  
  59. Reference: Elements of Differential Geometry, Millman and Parker,
  60. Prentice-Hall, 1977.
  61.  
  62. --
  63. =Spencer W. Thomas         HSITN, U of Michigan, Ann Arbor, MI 48109
  64. spencer.thomas@med.umich.edu    313-747-2778
  65.