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/ NetNews Usenet Archive 1992 #18 / NN_1992_18.iso / spool / sci / physics / 13299 < prev    next >
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Text File  |  1992-08-21  |  2.4 KB  |  51 lines
  1. Newsgroups: sci.physics
  2. Path: sparky!uunet!decwrl!world!jcf
  3. From: jcf@world.std.com (Joseph C Fineman)
  4. Subject: Re: Order-of-Magnitude problems
  5. Message-ID: <BtD0BI.9u3@world.std.com>
  6. Organization: The World Public Access UNIX, Brookline, MA
  7. References: <1992Aug15.105735.19350@midway.uchicago.edu> <1992Aug17.162216.9332@amhux2.amherst.edu> <18AUG199200260639@zeus.tamu.edu>
  8. Date: Sat, 22 Aug 1992 00:35:40 GMT
  9. Lines: 40
  10.  
  11. Rob:
  12.  
  13. I wrote this reply several days ago, but am new to Internet, & have taken
  14. this long to figure out how to post it.  In the meantime a good deal of it
  15. has appeared in other followups, but some of the details may still be of 
  16. interest.
  17.  
  18. Consider first the *classical* problem of a pencil balanced on its
  19. point (at 0 K, in vacuo).  This is just an upside-down pendulum, and
  20. has the same differential equation as an ordinary pendulum with the
  21. sign of the force term reversed.  Once again we may make the
  22. approximation sin(theta) = theta, this time not because theta will
  23. remain small, but because once it becomes large we may deem the pencil
  24. to have fallen over.  Then the motion, instead of being A sin(OMEGA t)
  25. + B cos(OMEGA t), is A exp(OMEGA t) + B exp(- OMEGA t) (same OMEGA),
  26. where only the first term is of interest.  Let the pencil be given a
  27. tiny initial displacement theta(0) and/or angular velocity omega(0) at
  28. t = 0; plugging in, we find A = omega(0)/(2 OMEGA) + theta(0)/2.
  29. Hence the time it takes for theta to become of order 1 is about
  30. - (1/OMEGA) ln{(1/2)[theta(0) + omega(0)/OMEGA]}.
  31.  
  32. Now the *handwaving* step.  It seems plausible that the amplification
  33. of the quantum-mechanical fluctuations takes place almost entirely in
  34. the classical regime, so that the latter can be incorporated entirely
  35. in the constraint they place on the initial conditions.
  36.  
  37. Finally the *q.m.*  Let I be the moment of inertia.  Then theta and
  38. I omega are canonically conjugate, so theta(0) and omega(0) cannot
  39. both be zero; at best theta(0) omega(0) is of order h/I.  Choosing
  40. theta(0) subject to this constraint to minimize the quantity in { } &
  41. thus maximize the lifetime, we obtain t = - (1/OMEGA) ln sqrt[h/
  42. (I OMEGA)].  Plugging in reasonable values, we find that it takes
  43. about a minute for the pencil to fall over.
  44.  
  45. If I were Von Neumann, I would supply a rigorous justification of the
  46. handwaving step.  If I were Fermi, I would have intuited the logarithm
  47. & supplied its argument on dimensional grounds.  Perhaps you can do
  48. something of the sort.
  49.  
  50. Yours &c, Joe
  51.