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/ NetNews Usenet Archive 1992 #18 / NN_1992_18.iso / spool / sci / physics / 12858 < prev    next >
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Internet Message Format  |  1992-08-14  |  4.8 KB
  1. Path: sparky!uunet!ogicse!uwm.edu!caen!kuhub.cc.ukans.edu!husc-news.harvard.edu!husc8!mcirvin
  2. From: mcirvin@husc8.harvard.edu (Mcirvin)
  3. Newsgroups: sci.physics
  4. Subject: Re: Is Space a continuum?
  5. Message-ID: <mcirvin.713815149@husc8>
  6. Date: 14 Aug 92 17:59:09 GMT
  7. Article-I.D.: husc8.mcirvin.713815149
  8. References: <1992Aug14.154321.794@sinix.UUCP>
  9. Lines: 89
  10. Nntp-Posting-Host: husc8.harvard.edu
  11.  
  12. dhg@sinix.UUCP (David Griffith) writes:
  13.  
  14. >Is space a continuum? In other words, does General Relativity suitably
  15. >adjusted by Quantum Mechanics, treat space-time as infinitely
  16. >sub-divisible? If it's not, how does this affect the mathematics, eg
  17. >calculus which assumes deltas that tend to zero?
  18.  
  19. Nobody really knows, but it's hoped that quantum mechanics will
  20. have some effect on these sorts of questions.  Presumably spacetime
  21. doesn't behave like a smooth manifold on the Planck scale, but what
  22. it does instead is not obvious.
  23.  
  24. The reason why such modification is to be hoped for has to do
  25. with quantum field theory.  In classical field theory the components
  26. of the field are treated as functions of spacetime.  In quantum
  27. field theory the functions are replaced by function-like things
  28. whose values are operators something like the ones encountered
  29. in nonrelativistic QM, except that the commutation (or anticommutation)
  30. relations don't involve finite [anti]commutators, but rather have
  31. things like Dirac delta functions (not the kind of delta
  32. you're talking about) in them.  
  33.  
  34. A Dirac delta "function" is the sort of thing that physicists
  35. use far too cavalierly for the tastes of mathematicians.  It's
  36. zero everywhere except at one point, where it's infinite; and
  37. this infinitely tall, infinitely thin spike has a finite 
  38. integral.  This isn't really a function, it's a distribution.  It
  39. is really only defined in terms of what you get when you 
  40. integrate it over various intervals, and it's unclear what
  41. happens when you multiply, say, two Dirac deltas on the real
  42. line that have their spikes in the same place.
  43.  
  44. Likewise, since these operator functions' commutation relations
  45. have Dirac deltas in them, they're not really operator-valued
  46. functions, but operator-valued distributions.  You only get
  47. a legitimate quantum operator with finite values by integrating
  48. these things over some volume of space.  The smaller the scale
  49. over which you integrate them, the more outrageously the numbers
  50. mount.  Yet interacting field theories involve multiplying
  51. various numbers of these fields together at the same spacetime
  52. point.  It's no wonder that hideous divergences show up in 
  53. the process of calculating things like transition probabilities. 
  54.  
  55. Now, the means of getting finite answers out of quantum
  56. field theory (though this is not all it's good for) is
  57. called renormalization, and it typically involves two
  58. steps.  The first step is to somehow modify the physics
  59. at short distances by applying an arbitrary short-wavelength 
  60. cutoff, or making the space discrete, or some such thing;
  61. this is called regularization.  Then, all results are expressed
  62. in terms of quantities having only to do with physics on the
  63. distance scale actually being dealt with.  For some quantum
  64. field theories (a family that fortunately includes the theories
  65. of strong, weak, and electromagnetic interactions), 
  66. this procedure will produce results that are actually
  67. independent of the arbitrary means of regularization, which
  68. can be removed from the final result.  But the regularization
  69. was necessary to make things make sense in the first place.
  70. It's treated as a kind of fiction that gets removed after
  71. the renormalization is done, but you can't do calculations
  72. without it.
  73.  
  74. One means of justifying renormalization as a legitimate
  75. procedure is to say that some form of regularization actually
  76. physically happens at very short distances, say, on the
  77. Planck scale, where it no longer becomes correct to
  78. speak of spacetime as a smooth manifold.  Then, as long as
  79. the theory you're looking at is "renormalizable" -- that
  80. is, the values of physical quantities are actually
  81. independent of things that happen at arbitrarily short
  82. distances-- you can use any regularization method you
  83. find convenient and get correct results, knowing that
  84. the true method of regularization is somehow buried in
  85. quantum gravity.
  86.  
  87. More importantly, if you try in any straightforward way to
  88. construct a theory of quantum gravity by turning general
  89. relativity into a quantum theory, you find that it is
  90. *not* renormalizable!  Physical quantities depend very
  91. much on the method used to cut off divergences, if you
  92. try to calculate them using the means normally used in
  93. particle physics.  So the hope is that quantum gravity
  94. itself will modify spacetime at short distances in such
  95. a way as to provide a natural cutoff for these divergences.
  96. Otherwise, it doesn't seem possible to make the theory
  97. make sense.
  98.  
  99. -- 
  100. Matt McIrvin, professional gradgrind, amateur Usenet drifter 
  101.