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/ NetNews Usenet Archive 1992 #18 / NN_1992_18.iso / spool / sci / math / symbolic / 2225 < prev    next >
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Text File  |  1992-08-17  |  3.1 KB  |  83 lines
  1. Newsgroups: sci.math.symbolic
  2. Path: sparky!uunet!munnari.oz.au!cs.mu.OZ.AU!eric!ross
  3. From: ross@ecr.mu.oz.au (Ross McAree)
  4. Subject: Help using Macaulay to convert the tangential equation of a surface into a point equation
  5. Message-ID: <9223113.10992@mulga.cs.mu.OZ.AU>
  6. Sender: news@cs.mu.OZ.AU
  7. Organization: Computer Science, University of Melbourne, Australia
  8. Date: Tue, 18 Aug 1992 03:14:15 GMT
  9. Lines: 72
  10.  
  11.  
  12.  
  13. This problem described below is one that I've been struggling with 
  14. for quite a while using maple. Unfortunately  I haven't been able 
  15. to get a result. A couple of people suggested that Macaulay's Grobner
  16. basis computations are most likely to yield a result. This being
  17. so I ftp'd Macaulay, however I find the language of Macaulay
  18. far too mathematical for a mechanical engineer. Can anyone show 
  19. me that way clear through all these "rings" and "ideals" and so 
  20. forth to a possible solution.
  21.  
  22. The problem is one of converting a quartic envelop surface (QES) in R^3
  23. into a point surface equation.  I suspect that the point surface is a
  24. sextic---certainly a number of sections through it are sextics. The
  25. equation of the QES in terms of tangent plane variables (t, u, v, s) 
  26. is
  27.  
  28. QES = (a^2 t^4 + b^2 u^4 + c^2 v^4)
  29.     -2 {b c u^2 v^2 + c a v^2 t^2 + a b t^2 u^2 + 2(t^2 + u^2 + v^2)} = 0 
  30.  
  31. where (t, u, v) is the normal at each plane and s
  32. is the shortest distance of the plane from the origin. The three
  33. "coefficients" a, b, and c are all real and satisfy 
  34.  
  35.     a + b + c = 0 
  36.  
  37. In finding a solution to the point equation it would not really 
  38. bother me if I had to substitute in values for a, b, and c, 
  39. though I'd prefer to do it symbolically. 
  40.  
  41. The "traditional" approach this problem is as follows. If the equation 
  42. of the tangent envelope to the surface is
  43.  
  44. (*)           F(t, u, v, s)  = 0.
  45.  
  46. Then the partial derivatives  Ft = dF/dt, Fu = dF/du, Fv = dF/dv, 
  47. and Fs = dF/ds, define the homogeneous point (x, y, z, w):
  48.  
  49.       x = Ft, 
  50.       y = Fu, 
  51.       z = Fv, 
  52.       w = Fs,
  53.  
  54. polar to the  general plane (t, u, v, s). If this plane is tangential to 
  55. the surface defined by (*), the polar point (x, y, z, w) is 
  56. on the surface. The equation set defined by the four equations above 
  57. and a further condition (namely the requirement that the point (x, y, z, w)
  58. be on the plane (t, u, v, s)), i.e
  59.  
  60. (**)    x * t + y * u + z * v + w * s = 0
  61.  
  62. can be used to find the point equation of  the surface by eliminating
  63. (t, u, v, s). Alternatively the function F could be used instead 
  64. of equation (**) by virtue of Euler's formula for homogeneous
  65. polynomials.
  66.  
  67. Unfortunately the elimination of t, u, v, s from the equation 
  68. set above has me stumped. It also has maple stumped--I set it 
  69. loose on the problem for two weeks on a sun 4/490
  70. and it didn't get anywhere). Surely this is not a difficult
  71. problem to solve and perhaps someone sufficiently familiar with 
  72. Macaulay could point out how to set up the input file for 
  73. this problem. I believe the script file dual_variety is the likely 
  74. to be required here however I'm totally confused by the 
  75. language of Algebraic geometry and I don't know where to
  76. begin. 
  77.  
  78. Ross McAree
  79. Robotics Laboratory,
  80. Department of Mechanical Engineering.
  81. The University of Melbourne.
  82. Parkville.
  83.