home *** CD-ROM | disk | FTP | other *** search
/ NetNews Usenet Archive 1992 #18 / NN_1992_18.iso / spool / sci / math / stat / 1707 < prev    next >
Encoding:
Text File  |  1992-08-19  |  3.4 KB  |  87 lines
  1. Newsgroups: sci.math.stat
  2. Path: sparky!uunet!cs.utexas.edu!wupost!darwin.sura.net!mips!news.cs.indiana.edu!orstnews!usenet
  3. From: choup@bionette.cgrb.orst.edu (Ping Chou)
  4. Subject: Answers to 'quiz of the day'
  5. Message-ID: <1992Aug20.044442.6667@talon.ucs.orst.edu>
  6. Sender: usenet@talon.ucs.orst.edu (Usenet News admin)
  7. Nntp-Posting-Host: cgrb.orst.edu
  8. Organization: Biological Computing Consortium, OSU, Corvallis, OR.
  9. Distribution: usa
  10. Date: Thu, 20 Aug 1992 04:44:42 GMT
  11. Lines: 74
  12.  
  13. The 'quiz of the day' got answered on the same and the following days. Many
  14. thanks to those of you who responded (so quickly). As for those who asked for
  15. a summary (and beyond), here it is:
  16.  
  17. (The quiz, rephrased)
  18.  
  19. Let P and Q are independent variates of Normal distribution of mean=0 and
  20. standard deviation= Sp and Sq, respectively. Let R=P/Q.
  21. What is the distribution of R?
  22.  
  23. (The answer)
  24.  
  25. R will follow Cauchy distribution. The normalized density function is
  26.  
  27. f(R) = (Sr/_pi_)/(R^2+Sr^2),
  28.  
  29. where Sr=Sp/Sq and _pi_= 3.1415926535897932..., and
  30.  
  31. INTEGRATE(from a to b)[f(R) dR] = (1/_pi_)*arctan(R/Sr)|(from a to b).
  32.  
  33. (The note)
  34.  
  35. 1. Cauchy distribution is the same as Lorentzian distribution. Or may be not,
  36.    but I have done some NMR (sorry, it's Nuclear Magnetic Resonance) spectra
  37.    analysis, by using Lorentzian band to decompose NMR spectra. Both
  38.    distribution have the same density function.
  39. 2. The parameter Sr in f(R) is analog to standard deviation in Normal
  40.    distribution. Sr is the half width at half height of the peak.
  41. 3. Let P'=P/Sp, Q'=Q/Sq (which imply Sp'=Sq'=1) and R'=P'/Q', then Sr'=1.
  42.  
  43. (The most-cited reference)
  44.  
  45. Advanced Theory of Statistics, originally by Sir Maurice Kendall
  46. 5th ed., Vol. I, 'Distribution Theory', by Alan Stuart and J. Keith Ord
  47. (Vol. II also contains many useful stuffs)
  48.  
  49. (The beyond)
  50.  
  51. The following table contains accumulated probability of R in 8 intervals,
  52. (-inf,-10), (-10,-1), (-1,-0.1), (-0.1,0), (0,0.1), (0.1,1), (1,10), (10,+inf)
  53. from three simulations. Data in each column of 'SIMULATE' are obtained from
  54. 10^7 R's, and those of 'INTEGRATE' are calculated according to the integral
  55. expression above.
  56.  
  57. Accumulated probability of Cauchy distribution of R=P/Q, Sr=Sp/Sq
  58. ==============================================================================
  59.          Sp=1, Sq=2, Sr=0.5      Sp=1, Sq=1, Sr=1        Sp=2, Sq=1, Sr=2
  60.  
  61.          SIMULATE  INTEGRATE     SIMULATE  INTEGRATE     SIMULATE  INTEGRATE
  62. ==============================================================================
  63. -inf
  64.          0.016107  0.015902      0.031650  0.031726      0.062803  0.062833
  65. -10.0
  66.          0.131533  0.131681      0.218344  0.218274      0.289752  0.289583
  67.  -1.0
  68.          0.289553  0.289583      0.218205  0.218274      0.131613  0.131681
  69.  -0.1
  70.          0.062802  0.062833      0.031769  0.031726      0.015813  0.015902
  71.   0
  72.          0.062824  0.062833      0.031660  0.031726      0.016073  0.015902
  73.  +0.1
  74.          0.289866  0.289583      0.218351  0.218274      0.131529  0.131681
  75.  +1.0
  76.          0.131609  0.131681      0.218253  0.218274      0.289616  0.289583
  77. +10.0
  78.          0.015706  0.015902      0.031768  0.031726      0.062801  0.062833
  79. +inf
  80. ==============================================================================
  81.  
  82. Ping
  83.  
  84. PS. By the time I'm ready to post this, 9 more responses come in with more
  85.     suggestions, hints, references, answers and requests. You boys and girls
  86.     are really beautiful. Thanks again.
  87.