home *** CD-ROM | disk | FTP | other *** search
/ NetNews Usenet Archive 1992 #18 / NN_1992_18.iso / spool / sci / math / 10509 < prev    next >
Encoding:
Internet Message Format  |  1992-08-22  |  2.6 KB
  1. Xref: sparky sci.math:10509 sci.physics:13316
  2. Path: sparky!uunet!mcsun!sun4nl!tuegate.tue.nl!rw7.urc.tue.nl!wsadjw
  3. From: wsadjw@rw7.urc.tue.nl (Jan Willem Nienhuys)
  4. Newsgroups: sci.math,sci.physics
  5. Subject: Re: tensors: How about 3rd, 4th rank?
  6. Message-ID: <5143@tuegate.tue.nl>
  7. Date: 22 Aug 92 14:02:47 GMT
  8. References: <5134@tuegate.tue.nl> <3djygrk@rpi.edu> <mcirvin.714433381@husc8>
  9. Sender: root@tuegate.tue.nl
  10. Reply-To: wsadjw@urc.tue.nl
  11. Followup-To: sci.math
  12. Organization: Eindhoven University of Technology, The Netherlands
  13. Lines: 41
  14.  
  15. In article <mcirvin.714433381@husc8> mcirvin@husc8.harvard.edu (Mcirvin) writes:
  16. >pierct@rpi.edu (Tom Pierce) writes:
  17. >
  18. >The Riemann curvature tensor is fourth-order.  It has 4x4x4x4
  19. >components in GR, though most of them are related by symmetries so
  20. >it has many fewer independent components.  This describes the
  21. >curvature of four-dimensional spacetime in general relativity.
  22. >
  23.  
  24. The curvature tensor can be described without too much transformation
  25. laws and indices.  
  26. Take any two tangent vectors a,b, in a point p. They span a plane.  Take
  27. a third tangent vector c.  Now carry this third vector around on the
  28. manifold, but stay in the plane spanned by a and b (let's say in the 
  29. submanifold consisting of geodesics emanating p from whose initial 
  30. direction is a linear combination of a and b. After carrying around,
  31. c will have changed a little Dc.  Of course Dc will be very small
  32. if the path along which you have carried c is a very small circle or
  33. other closed loop.  But if you carry c around a geodesic parallellogram
  34. with tangent vectors a and b at p, then Dc is in first approximation
  35. a multilinear function of a, b and c. Or you could say, you have a 
  36. map c -> Dc that is a bilinear function of a and b.  This "trilinear
  37. vector valued function" is what is usually called the curvature 
  38. tensor.
  39.  
  40. For example on a sphere of radius R, a parallell transport of a
  41. tangent vector around a closed loop results in a rotation through
  42. an angle equal to the area enclosed by the loop (divided by R^2).
  43. So in the above, Dc is always just the determinant of a and b divided
  44. by R^2, times a c rotated through pi/2.  The larger R is, the closer
  45. this is, the closer this is to the zero map.
  46.  
  47. If you try to compute the curvature tensor in concrete cases, then
  48. you have to work with parametrizations of your manifold, and if you
  49. want to compare different parametrizations, you get to deal with those
  50. transformation laws. Just like when you do computations with vectors,
  51. you represent them as rows or columns of numbers with respect to
  52. a certain basis.  But for understanding what's going on, you don't
  53. really need these gory details.
  54.  
  55. JWN
  56.