home *** CD-ROM | disk | FTP | other *** search
/ NetNews Usenet Archive 1992 #18 / NN_1992_18.iso / spool / sci / math / 10497 < prev    next >
Encoding:
Internet Message Format  |  1992-08-21  |  2.9 KB
  1. Xref: sparky sci.math:10497 sci.physics:13291
  2. Path: sparky!uunet!dtix!darwin.sura.net!mips!sdd.hp.com!cs.utexas.edu!qt.cs.utexas.edu!yale.edu!yale!gumby!destroyer!ubc-cs!unixg.ubc.ca!ramsay
  3. From: ramsay@unixg.ubc.ca (Keith Ramsay)
  4. Newsgroups: sci.math,sci.physics
  5. Subject: Re: tensors: How about 3rd, 4th rank?
  6. Message-ID: <1992Aug21.234025.2455@unixg.ubc.ca>
  7. Date: 21 Aug 92 23:40:25 GMT
  8. References: <5134@tuegate.tue.nl> <3djygrk@rpi.edu> <1992Aug21.191559.20170@news2.cis.umn.edu>
  9. Sender: news@unixg.ubc.ca (Usenet News Maintenance)
  10. Organization: University of British Columbia, Vancouver, B.C., Canada
  11. Lines: 44
  12. Nntp-Posting-Host: unixg.ubc.ca
  13.  
  14. In article <1992Aug21.191559.20170@news2.cis.umn.edu> 
  15. benzvi@leibniz.geom.umn.edu (benzvi) writes:
  16. >... given two vector spaces over a common scalar field,
  17. >V and W, V(tensor)W is defined as the set of elements
  18. >v(tensor)w (v in V, w in W). 
  19.  
  20. Not exactly. V tensor W is *spanned* by those elements.
  21.  
  22. For example, if V and W are both 3-dimensional vector spaces, with
  23. basis {i,j,k}, then V tensor W is a 9=3*3 dimensional space with basis
  24. {i tensor i, i tensor j,...,k tensor k}. The elements of the form v
  25. tensor w are just the elements of the form (ai+bj+ck) tensor
  26. (di+ej+fk)=ad(i tensor i)+ae(i tensor j)+...+cf(k tensor k). This (6
  27. dimensional surface) misses such things as (i tensor i)+(j tensor j).
  28.  
  29. I recommend that one think of tensors in terms of the multi-linearity
  30. properties being utilized, rather than thinking exclusively in terms
  31. of coordinates and how the components transform as the coordinates are
  32. changed.
  33.  
  34. An example of a natural higher order tensor is the (Riemann) curvature
  35. tensor. Curvature is manifested by noticing that vectors which are
  36. "parallel-transported" around closed loops don't come back the same.
  37. (Try this on a globe. Take a pencil, and put it on the equator
  38. pointing east. Move it eastward around the equator 90 degrees. Now
  39. move it up to the north pole, without changing the orientation. Now
  40. slide it similarly along a meridian back to the original place. It is
  41. no longer pointing east. This is because the globe is curved.)
  42.  
  43. There is a corresponding curvature tensor. To specify a (tiny) closed
  44. (parallelogram-like) loop takes two vectors, and the initial vector to
  45. be transported around it is another one. The "result" is a vector
  46. indicating by how much the vector has been perturbed by going around
  47. the loop. One can show that the perturbation is linear in all three
  48. "input" vectors (if we take the correct limit of "tinyness" of our
  49. closed loop). Hence we have a tensor of type (3,1) (or is it (1,3)?).
  50.  
  51. The fact that it is linear in each of the components is the key thing
  52. as far as its being a tensor. I hope this helps to dispel some of the
  53. mystery. Now go read some books. :-)
  54.  
  55. Keith Ramsay         The measure of our intellectual capacity is the
  56. ramsay@unixg.ubc.ca  capacity to feel less and less satisfied with our
  57.                      answers to better and better problems.-C.W.Churchman
  58.