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/ NetNews Usenet Archive 1992 #18 / NN_1992_18.iso / spool / sci / math / 10466 < prev    next >
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Internet Message Format  |  1992-08-20  |  4.1 KB
  1. Path: sparky!uunet!charon.amdahl.com!pacbell.com!mips!swrinde!zaphod.mps.ohio-state.edu!cis.ohio-state.edu!rutgers!dziuxsolim.rutgers.edu!no.rutgers.edu!bumby
  2. From: bumby@no.rutgers.edu (Richard Bumby)
  3. Newsgroups: sci.math
  4. Subject: Re: Continued Fractions
  5. Keywords: Help, Continued Fractions
  6. Message-ID: <Aug.20.17.18.51.1992.1225@no.rutgers.edu>
  7. Date: 20 Aug 92 21:18:52 GMT
  8. References: <1992Aug20.165623.11309@eliot.uucp>
  9. Distribution: na
  10. Organization: Rutgers Univ., New Brunswick, N.J.
  11. Lines: 76
  12.  
  13. andyc@eliot.uucp (Andy Collins) writes:
  14.  
  15. >I am looking for information on continued fractions. I would
  16. >hope that there are books on the subject out there, but have
  17. >not had the time to do a full-out search. I would appreciate
  18. >any information.
  19.  
  20. >Thanks
  21.  
  22. >andy
  23.  
  24. >PS (not a trademark)
  25. >Where are continued fractions used?
  26. >Who has done the most work on these things?
  27.  
  28. >If you can could you post replies, my mail will be straigtened out
  29. >by next week.
  30.  
  31. Continued fractions are the most exciting objects in all of
  32. mathematics.  I would not be surprised to find love poetry inspired by
  33. continued fractions!  As for references ...
  34.  
  35. Perron's "Kettenbrueche" (1929) remains the standard reference.  It
  36. has been reprinted by Chelsea, but appears to be available only in the
  37. original German.  This book covers both the arithmetic and analytic
  38. theory. 
  39.  
  40. The chief use of continued fractions arises from the fact that they
  41. describe a procedure for efficient generation of good rational
  42. approximations.  A good treatment of the arithmetic theory from this
  43. point of view can be found in Cassels, "An Introduction to Diophantine
  44. Approximation", Cambridge, 1957.
  45.  
  46. Any reasonable thorough textbook on elementary number theory would
  47. have an introduction to the arithmetic theory of continued fractions.
  48. The analytic theory still seems to be treated somewhat as an advanced
  49. subject. 
  50.  
  51. The continued fraction representation of a real number seems to be a
  52. very rigid object.  Whatever property you choose as the basis of your
  53. study, you seem to be led to the same construction.  The question of
  54. approximation by rational numbers have analogs concerning simultaneous
  55. approximation of several real numbers by rationals with the same
  56. denominator.  It is tempting to think that there should be something
  57. like a continued fraction that could be used to organize work on this
  58. subject.  No comparable theory has been found, although some
  59. constructions have been proposed that have a large number of desirable
  60. properties.  A very thorough discussion of this can be found in
  61. Brentjes, "Multidimensional Continued Fraction Algorithms",
  62. Mathematical Centre Tract 145 (Amsterdam, 1981).
  63.  
  64. The subject is important enough to have its own section heading in the
  65. Encyclopedic Dictionary of Mathematics, though the 3 pages allocated
  66. do not give enough space to describe the subject as it relates to
  67. current research.  The fact that the continued fraction expansion of
  68. every quadratic irrational is eventually periodic (published by Lagrange
  69. in 1770) continues to be the star of the show.  Combining this with
  70. the result that says that the convergents of the continued fraction
  71. give _all_ good rational approximations (in a sense which I will not
  72. make precise here), shows that these periods allow the fundamental
  73. units of real quadratic fields to be computed.
  74.  
  75. The relation between the partial quotients in the continued fraction
  76. of a number and the approximation properties of the number allow
  77. examples to be constructed of numbers having prescribed approximation
  78. properties.  I find this to be extremely important, even though it is
  79. obtained fairly early in the development of the theory.  Its
  80. importance is somewhat subtle since it depends on an interpretation of
  81. theorems which is not easily included in their statement.  In a sense,
  82. the pattern of the sequence of partial quotients includes more
  83. significant information about the number than, for example, its string
  84. of decimal digits.
  85. -- 
  86. R. T. Bumby **  Rutgers Math ||   Amer. Math. Monthly Problems Editor
  87. bumby@math.rutgers.edu       || P.O. Box 10971 New Brunswick, NJ08906-0971
  88. bumby@dimacs.rutgers.edu     || Phone: [USA] 908 932 0277 * FAX 908 932 5530
  89.