home *** CD-ROM | disk | FTP | other *** search
/ NetNews Usenet Archive 1992 #18 / NN_1992_18.iso / spool / sci / math / 10442 < prev    next >
Encoding:
Internet Message Format  |  1992-08-20  |  3.3 KB
  1. Path: sparky!uunet!news.claremont.edu!ucivax!orion.oac.uci.edu!beckman.com!dn66!a_rubin
  2. Newsgroups: sci.math
  3. Subject: Re: int(x*log(x)*((1-x)^n), x=0..1)
  4. Message-ID: <a_rubin.714329152@dn66>
  5. From: a_rubin@dsg4.dse.beckman.com (Arthur Rubin)
  6. Date: 20 Aug 92 16:45:52 GMT
  7. References: <dld.714296391@bruce.cs.monash.edu.au>
  8. Keywords: Hairy integral, Beta function
  9. Nntp-Posting-Host: dn66.dse.beckman.com
  10. Lines: 67
  11.  
  12. In <dld.714296391@bruce.cs.monash.edu.au> dld@cs.monash.edu.au (David L Dowe) writes:
  13.  
  14. >Let  I(n) = int(x*log(x)*((1-x)^n), x=0..1);
  15. >to use Maple's notation.        n is a positive integer.     log is ln  .
  16.  
  17. >I seek as simple an expression as possible or, that failing, as rapidly
  18. >converging an expression as possible for I(n).
  19.  
  20. >Before you respond (to me rather than the newsgroup, please), let me tell
  21. >you what I do know:
  22. >By parts,  int((x^n)*log(x), x=0..1) = -1/((n+1)^2)          (1)
  23.  
  24. >Expanding (1-x)^n binomially and using (1)  enables us to get a
  25. >fairly simple expression for I(n).   But, I would like (if possible) a simpler
  26. >or more rapidly converging expression.
  27.  
  28. >o   I also know that, re-writing  I(n)  as  int((1-x)*log(1-x)*(x^n)),x=0..1);
  29. >  Taylor expanding  log(x)  =  Sum(i=1,infinity) -(x^i)/i     gives
  30. >  I(n)  =  int(-(x^(n+1)) + Sum(i=2,infinity) (x^(n+i))/((i-1)*i) , x=0..1)  ;
  31. >and so     I(n)  =  -1/(n+2)  +  Sum(i=2,infinity) 1/((i-1)*i*(n+i+1)) .
  32. >  This also converges more slowly than I would like it to.
  33.  
  34. >o   I also "know" that I(n) is rational.   I(0) = -1/4,  I(1) = -5/36,
  35. >  I(2) = -13/144,  I(3) = -77/1200,  I(4) = -29/600,  I(5) = -223/5880,
  36. >  I(6) = -481/15680,   and Maple Vn4.3 gave me a mammoth expression for
  37. >  I(50) in 15 seconds.
  38. >    When I gave Maple 4.3 the integral I(n)  (n unspecified), it merely
  39. > returned some seconds later with the same initial expression I had given it.
  40.  
  41. >o   I also "know" that  n*(n-1)*I(n) + log(n + 1/2)   converges to
  42. >  (I forget whether it's + or - )  +/- 0.42... ,
  43. >  the 0.42... possibly (a guess) being something to do with Euler's constant.
  44.  
  45. >   I would appreciate (a reference to)
  46. >  a proof that I(n) is rational,
  47. >  a proof of the convergence result, and the value of "0.42..." ,   and
  48. >  (most importantly)  as simple an expression as possible for I(n) .
  49. >__
  50.  
  51.  
  52. Mathematica 2.0 for HP/Apollo Domain OS reports:
  53. Integrate[(1-x) Log[1-x] x^n,{x,0,1}] = (n^3 -4 n -2)/(n (n+1)^2 (n+2)^2) -
  54.            (EulerGamma + PolyGamma[n])/((n+1)(n+2))
  55.  
  56. (PolyGamma is the digamma function "psi", and EulerGamma is Euler's constant.)
  57.  
  58. (1) You "know" I(n) is rational by using your expansion (1).
  59.  
  60. (2) EulerGamma + PolyGammma[n] is Sum[1/m,{m,n-1}], which produces a fairly
  61. simple (but not rapidly convergent) rational expression.
  62.  
  63. (3) PolyGamma[n] =  log(n) + 1/2/n - 1/12/n^2 + 1/120/n^4 - 1/252/n^6 +  
  64. 1/240/n^8 -1/132/n^10 + ..., at least as an asymtotic series, (which can be
  65. used for rapid calculation given the value of gamma) so your constant limit
  66. of n(n-1)I(n) + Log(n+1/2)  or (n+1)(n+2)I(n) + log(n) is 1 - EulerGamma.
  67.  
  68.  
  69.  
  70.  
  71.  
  72.  
  73.  
  74. --
  75. Arthur L. Rubin: a_rubin@dsg4.dse.beckman.com (work) Beckman Instruments/Brea
  76. 216-5888@mcimail.com 70707.453@compuserve.com arthur@pnet01.cts.com (personal)
  77. My opinions are my own, and do not represent those of my employer.
  78. My interaction with our news system is unstable; if you want to be sure I see a post, mail it.
  79.