home *** CD-ROM | disk | FTP | other *** search
/ NetNews Usenet Archive 1992 #18 / NN_1992_18.iso / spool / sci / math / 10341 < prev    next >
Encoding:
Internet Message Format  |  1992-08-17  |  3.5 KB
  1. Path: sparky!uunet!munnari.oz.au!samsung!balrog!ctron.com!wilson
  2. From: wilson@ctron.com (David Wilson)
  3. Newsgroups: sci.math
  4. Subject: Re: Fundamental Theorems?
  5. Message-ID: <4750@balrog.ctron.com>
  6. Date: 17 Aug 92 18:16:35 GMT
  7. References: <4711@balrog.ctron.com> <19305@nntp_server.ems.cdc.com>
  8. Sender: root@balrog.ctron.com
  9. Reply-To: wilson@ctron.com (David Wilson)
  10. Organization: Cabletron Systems Inc
  11. Lines: 76
  12. Nntp-Posting-Host: web
  13.  
  14. Sorry for the cascade, but
  15.  
  16.     Take all that follows with a grain of smiley.
  17.  
  18. In article <19305@nntp_server.ems.cdc.com>, mstemper@ems.cdc.com writes
  19.  
  20. >In article <4711@balrog.ctron.com>, wilson@web.ctron.com writes:
  21. >|>     Fundamental Theorem of Geometry:
  22. >|>
  23. >|>     The Independence of the Parallel Postulate:
  24. >|> 
  25. >|>     The parallel postulate is independent of the axioms of absolute
  26. >|>     geometry.
  27. >|> 
  28. >|>     Try to beat this one for historical importance as well as its 
  29. >|>     bearing on mathematical thought.
  30. >
  31. >Important, yes. Accepted, yes. Theorem, no.
  32. >How would you prove this? Reductio ad absurdum? :->
  33.  
  34.     To prove this, take a suitable model of the hyperbolic plane
  35.     within the Cartesian plane, say the Cayley-Klein incidence
  36.     plane with suitable interpretation of line, point, etc., and
  37.     proceed to show that this model fulfills the axioms of absolute
  38.     geometry but not the Parallel Postulate.
  39.  
  40.     What?  This merely shows that the independence of the parallel
  41.     postulate from absolute geometry is only as good as the
  42.     consistency of the real numbers?  Forgive me, as I am one of
  43.     the old school who believes that the real numbers may even be
  44.     more consistent than past policies of the Roman Catholic Church
  45.     regarding the subject.  (At any rate, I lose little sleep worrying
  46.     what the real numbers are going to do before morning comes.)
  47.  
  48.     What?  We didn't show that the Parallel Postulate is independent
  49.     using Euclid's Axioms?   It seems to me that as the Fundamental
  50.     Theorem of Calculus relies strictly on the Axioms of Calculus,
  51.     it is only proper that the Fundamental Theorem of Geometry
  52.     should be founded exclusively on the Axioms of Geometry.  I'm a
  53.     little rusty, you'll have to refresh me on those...
  54.  
  55. >|>     Fundamental Theorem of Mathematics:
  56. >|> 
  57. >|>     The principle of mathematical induction:
  58. >|> 
  59. >|>     Let P(x) be a proposition about natural number x.  If
  60. >|>         1.  P(0)
  61. >|>         2.  For all x, P(x) ==> P(x+1)
  62. >|>     Then P(x) is true for all numbers.
  63. >|> 
  64. >|>     This principle pervades mathematics.  To understand, appreciate,
  65. >|>     and use mathematical induction is the entry ticket to mathematics.
  66. >|> 
  67. >|>     (Bob Silverman points out that mathematical induction is an
  68. >|>     axiom.  I believe that this makes it no less a theorem).
  69. >
  70. > I thought that axioms were what you used to prove theorems?
  71.  
  72.     If one regards a theory as simply a collection of statements closed
  73.     over some logic, then there is really no distinction between axiom
  74.     and theorem.  Any axiom set and logic will do as long as we agree
  75.     on all of the conclusions.
  76.  
  77.     In short, what you must prove depends on what you assume.  One man's
  78.     axiom is another man's theorem.  In my book, an axiom is a statement
  79.     that someone at some time didn't feel compelled to justify.
  80.  
  81.     Let us first agree on the Axioms of Mathematics before we argue the
  82.     Fundamental Theorem of Mathematics.  Until then, my vote for
  83.     mathematical induction stands.
  84.  
  85.  
  86. David W. Wilson (wilson@ctron.com)
  87.  
  88. Disclaimer: "Truth is just truth...You can't have opinions about truth."
  89. - Peter Schikele, introduction to P.D.Q. Bach's oratorio "The Seasonings."
  90.