home *** CD-ROM | disk | FTP | other *** search
/ NetNews Usenet Archive 1992 #18 / NN_1992_18.iso / spool / sci / math / 10326 < prev    next >
Encoding:
Text File  |  1992-08-17  |  2.5 KB  |  79 lines
  1. Newsgroups: sci.math
  2. Path: sparky!uunet!usc!zaphod.mps.ohio-state.edu!magnus.acs.ohio-state.edu!usenet.ins.cwru.edu!math26647.math.cwru.edu!user
  3. From: mgh3@po.cwru.edu (mike hurley)
  4. Subject: Re: Still another problem.
  5. Message-ID: <mgh3-170892130137@math26647.math.cwru.edu>
  6. Followup-To: sci.math
  7. Sender: news@usenet.ins.cwru.edu
  8. Nntp-Posting-Host: math26647.math.cwru.edu
  9. Organization: case western reserve u
  10. References: <1992Aug11.170858.275@csc.canterbury.ac.nz> <1992Aug12.075304.28486@newssrv.edvz.univie.ac.at> <1992Aug14.142149.16686@mcs.drexel.edu>
  11. Date: Mon, 17 Aug 92 17:08:24 GMT
  12. Lines:       66
  13.  
  14. In article <1992Aug14.142149.16686@mcs.drexel.edu>, dmagagno@mcs.drexel.edu
  15. (David Magagnosc) wrote:
  16. > 
  17. > In article <1992Aug12.075304.28486@newssrv.edvz.univie.ac.at> pm@katz.cc.univie.ac.at (Peter Marksteiner) writes:
  18. > >Bill Taylor writes:
  19. > >
  20. > >
  21. > >>Prove that
  22. > >>
  23. > >>               n     n     n    n
  24. > >>     1  /     2     3     4    5        \  
  25. > >>     - |  1 + -- +  --  + -- + -- +....  | 
  26. > >>     e  \     1!    2!    3!   4!       /   
  27. > >>
  28. > >>  is an integer for all positive integer n.
  29. > >
  30.     << text deleted >>
  31. > 
  32. > 
  33. > While we're at it, prove that the following sum is always an
  34. > integer:
  35. > 
  36. >      n    n    n    n
  37. >     1    2    3    4
  38. >     -- + -- + -- + -- + ...
  39. >      1    2    3    4
  40. >     2    2    2    2
  41. > 
  42. > and find reasonable generalizations.
  43. > 
  44. > D. Magagnosc
  45. > -- 
  46.  
  47.  
  48. The new problem can be solved by the same method as the original 
  49. one, namely by expanding using binomial coefficients, changing 
  50. the order of summation, and using induction to obtain a 
  51. recursive formula for the values of the sums:
  52.  
  53. Let a_n = sum_{j=1}^{infty}(j^n)/(2^j).
  54.  
  55. Clearly a_0 = 1 is an integer.
  56. Let B[n,m] denote the binomial coefficient n over m. 
  57.  
  58. We can write 
  59. a_n = (1/2)*\sum_{j=1}^{infty}(j^n)/(2^(j-1))
  60.     = (1/2)*\sum_{j=0}^{infty}((j+1)^n)/(2^j)
  61.     = (1/2)*\sum_{j=0}^{infty}\sum_{m=0}^n B[n,m](j^m)/(2^j)
  62.     = (1/2)*\sum_{m=0}^n B[n,m]\sum_{j=0}^{infty}(j^m)/(2^j).
  63. For simplicity break off the m=0 term:
  64.     = (1/2)\sum_{j=0}^{infty}(j^0)/(2^j) 
  65.         + (1/2)*\sum_{m=1}^n B[n,m]\sum_{j=1}^{infty}(j^m)/(2^j)
  66.     = 1 + (1/2)*\sum_{m=1}^n B[n,m]*a_m.
  67. Combine both the a_n terms on the left:
  68. (1/2)a_n = 1 + (1/2)*\sum_{m=1}^(n-1) B[n,m]*a_m
  69. a_n  =  2 +  \sum_{m=1}^(n-1) B[n,m]*a_m
  70.      =  1 +  \sum_{m=0}^(n-1) B[n,m]*a_m
  71. (since B[n,0]*a_0 is always 1). 
  72.  
  73. Thus by induction every a_n is an integer; the
  74. sequence begins 1,2,6,26,150,... .
  75.  
  76. mike hurley   mgh3@po.cwru.edu
  77. dept of mathematics
  78. case western reserve univ. 44106-7058
  79.