home *** CD-ROM | disk | FTP | other *** search
/ NetNews Usenet Archive 1992 #18 / NN_1992_18.iso / spool / sci / math / 10301 < prev    next >
Encoding:
Internet Message Format  |  1992-08-15  |  2.0 KB
  1. Path: sparky!uunet!gatech!purdue!mentor.cc.purdue.edu!pop.stat.purdue.edu!hrubin
  2. From: hrubin@pop.stat.purdue.edu (Herman Rubin)
  3. Newsgroups: sci.math
  4. Subject: Re: Help - non-integral power of a matrix?
  5. Keywords: matrix
  6. Message-ID: <56923@mentor.cc.purdue.edu>
  7. Date: 15 Aug 92 15:30:45 GMT
  8. References: <Aug.10.15.45.34.1992.26563@clam.rutgers.edu>
  9. Sender: news@mentor.cc.purdue.edu
  10. Organization: Purdue University Statistics Department
  11. Lines: 39
  12.  
  13. In article <Aug.10.15.45.34.1992.26563@clam.rutgers.edu> gonzalez@clam.rutgers.edu (Ralph Gonzalez) writes:
  14.  
  15. >Hi.  Does anyone know of an algorithm to find a non-integral
  16. >power of a matrix, e.g. A^.5 or A^1.3? Thus, A^2 is the same
  17. >as AxA and A^0 is the identity.
  18.  
  19. >I imagine if such a thing is defined, then there are conditions
  20. >on A...
  21.  
  22. There have been N postings in reply to this, which give partial
  23. results, but none which I would consider sufficiently complete.
  24.  
  25. There are conditions, and it even depends on exactly what is 
  26. wanted.  The simplest way to look at this is by considering a
  27. reduction to one of the canonical forms.  A singular component
  28. can be considered as having 0 down the diagonal and possibly
  29. something above the diagonal; if this block is nxn, all powers
  30. greater than n can be considered 0, but below n, it has to be
  31. looked at carefully.
  32.  
  33. If one takes a block with a positive constant diagonal element h,
  34. the Taylor series expansion around hI gives h^k*I plus a FINITE
  35. series in (A-hI).
  36.  
  37. If a characteristic root is negative or complex, the same can be
  38. done, but if a real solution is wanted, this may or may not be 
  39. possible.  For example, the matrix 
  40.  
  41.     cos x    -sin x
  42.     sin x     cos x
  43.  
  44. is essentially exp(ix).  So powers of orthogonal matrices with
  45. determinant 1 can be defined non-uniquely as real matrices.   
  46. However, if the determinant is negative, there clearly are problems.
  47. -- 
  48. Herman Rubin, Dept. of Statistics, Purdue Univ., West Lafayette IN47907-1399
  49. Phone: (317)494-6054
  50. hrubin@pop.stat.purdue.edu (Internet, bitnet)  
  51. {purdue,pur-ee}!pop.stat!hrubin(UUCP)
  52.