home *** CD-ROM | disk | FTP | other *** search
/ NetNews Usenet Archive 1992 #18 / NN_1992_18.iso / spool / sci / math / 10295 < prev    next >
Encoding:
Text File  |  1992-08-14  |  1.4 KB  |  36 lines
  1. Newsgroups: sci.math
  2. Path: sparky!uunet!comp.vuw.ac.nz!cc-server4.massey.ac.nz!TMoore@massey.ac.nz
  3. From: news@massey.ac.nz (USENET News System)
  4. Subject: Re: Is Card(R)=Card(R^2)?
  5. Message-ID: <1992Aug13.000715.21464@massey.ac.nz>
  6. Organization: Massey University
  7. References: <1992Aug12.102140.5231@nntp.hut.fi>
  8. Date: Thu, 13 Aug 92 00:07:15 GMT
  9. Lines: 25
  10.  
  11. In article <1992Aug12.102140.5231@nntp.hut.fi>, samu@lammio.hut.fi (Samuli Siltanen) writes:
  12. > 
  13. > I have been wondering... It seems first that there are more pairs of
  14. > real numbers than real numbers, but is it really so? And if not, I would
  15. > like to see a bijective mapping f:R->R^2. And furthermore, is there some  
  16. > relation between Card(R) and Card(R^n)?
  17. > 
  18. > Hoping that this is not a trivial one
  19. > 
  20. It is not trivial, but not too hard either. This is the one which slowed
  21. acceptance of set theory - many mathematicians were reluctant to
  22. accept the result and therefore felt that set theory must be wrong.
  23.  
  24. There is a bijective mapping.
  25.  
  26. First attempt: use assign alternate digits of the decimal expansion
  27. of z to x and y. (To keep it simple let 0 <= z <= 1). This does not
  28. quite work because 0.52909090... maps to (0.5999..., 0.2000...)
  29. and so does 0.62000... . We have, however, shown that
  30. #([0,1]) >= #([0,1] x [0,1]).
  31. Cantor laboured a great deal to get an explicit bijection, but now
  32. we can just use the Schroeder-Bernstein theorem:
  33. #A >= #B and #A <= #B implies #A = #B.
  34.  
  35. A similar argument shows that #R = #R^n.
  36.